Encontrar enteros todos $$(x, y)$$ such that $% $ $1 + 2^x + 2^{2x + 1} = y^2$usé básicamente $$ f(x) = 1 + 2^x + 2^{2x + 1} = y^2$$ and created a table from 0 to 20. I got two pairs of integers: $$(0, \pm2)$$ and $% $ $(4, \pm23)$quiero saber si hay otro método o si hay cualquier otro par de números enteros, o una generalización.
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Joffan
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$1 + 2^x + 2^{2x + 1} = y^2 \\\implies 2^x(2^{x+1}+1) = (y+1)(y-1)$
$x<-1$ da un no-entero LHS (no soluciones)
$x=-1$ da LHS $= 1$ sin soluciones para $y$
$x=0$ da LHS $= 3$ $y=\pm 2$
Para $x>0$, $y$ es extraño por lo tanto poner $y=2k+1$ $2^x(2^{x+1}+1) = (2k+2)(2k) = 4k(k+1)$ que es divisible por $8$$x\ge 3$$2^{x-2}(2^{x+1}+1) = k(k+1)$.
Claramente no podemos tener a $k=2^{x-2}$ o $k+1=2^{x-2}$, por lo que necesitamos $(2^{x+1}+1)$ a dividir en (impar) factores de $r,s$ tal que $2^{x-2}r = s\pm 1$.
A continuación, $|r|<8$ lo contrario $2^{x-2}|r| > (2^{x+1}+1)$. También se $2^{x-2}r^2 = sr\pm r$ $|r|=3$ es la única opción viable y $2^{x-2}9 = (2^{x+1}+1) \pm 3$ da $2^{x-2} = 4$ es decir $x=4$ (e $y=\pm 23$) como la única solución.
En resumen: la única de las soluciones de $(x,y)$$(0,\pm 2)$$(4,\pm 23)$, los que se encuentran.
