Resolver $\lceil x\rceil^2+\lceil x+1\rceil^2=25$

Question

¿Cómo podemos encontrar el conjunto de soluciones de $\lceil x\rceil^2+\lceil x+1\rceil^2=25$ donde $\lceil x\rceil$ ¿es la función del techo?

Answer 1

Puede comprobar que la única solución para $$ n^2 + m^2 = 5^2 $$ para $n$ y $m$ Los números enteros son $n = \pm 3, m = \pm 4$ o $n = \pm 4, m = \pm 3$ o $n= 0, m =5$ o $n = 5, m =0$ . Así que como la función techo sí da enteros y necesitas $ m = n+1$ (o al revés), tienes que $\lceil x\rceil = 3$ o $\lceil x\rceil = -4$ .

Answer 2

Observe que $\lceil x+1\rceil =\lceil x\rceil +1$ . Así que el ajuste $n=\lceil x\rceil$ equivale a resolver para $n$ en $$n^2+(n+1)^2=25\;\iff\;n^2+n-12=0\;\iff\;(n+4)(n-3)=0\;\iff\; n\in\{-4,3\}.$$

El caso $n=\lceil x\rceil=-4$ le da $-5<x\leq-4$ mientras que $n=\lceil x\rceil=3$ rinde $2<x\leq 3$ . Por lo tanto, el conjunto de soluciones es $$ (-5,-4]\cup(2,3].$$