Límite de $ u_{n}=\sin(\frac{1}{n+1})+\cdots+\sin(\frac{1}{2n})$

Question

Cómo puedo encontrar el límite de

$$ u_n =\sin\left(\frac{1}{n+1}\right)+\cdots+\sin\left(\frac{1}{2n}\right)$$

¿Cuando $n\rightarrow\infty$?

Tenemos:

$$ \sum_{n=1}^\infty u_{n+1}-u_n =u_\infty -\sin\left(\frac{1}{2}\right)$$

Cómo puedo encontrar %#% $ #%

Answer 1

El uso de $$ x - \frac{x^3}{6} \lt \sin x \lt x$$

para los positivos $x$ cerca de $0$ y el hecho de que $\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^3}$ es convergente, vemos que

su límite es el mismo que el límite de $\displaystyle s_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k}$

Un método para encontrar este límite es el uso de la serie Armónica estimación como en la de Alex respuesta.

Otro método es interpretarlo como una suma de Riemann de la integral de la $\int_{0}^{1} \frac{1}{1+x} \text{ dx}$ como en Ragib comentario de Alex de la respuesta.

Voy a mencionar un tercer método, que utiliza el Valor medio teorema. (aunque los tres son muy similares).

Desde $\frac{1}{x}$ es la disminución de positivos $x$, podemos ver el uso que significa teorema del valor que

$$\frac{1}{x+1} \lt \log (1+x) - \log x \lt \frac{1}{x}$$

Establecimiento $x = n+1, n+2, \dots, 2n$ y agregar y, a continuación, configuración de $x=2n-1, 2n-2, \dots, n$ y sumando obtenemos

$$\log \left(\frac{2n+1}{n}\right) \lt s_n \lt \log \left(\frac{2n-1}{n-1}\right)$$

y así

$$\lim_{n \to \infty} s_n = \log 2$$

Answer 2

Podemos hacer uso del hecho de que el % $ $$\sin x = \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$y tenga en cuenta que cuando $x\leq 1$, el valor absoluto de cada término es más que la suma de los valores absolutos de los términos más adelante. Así $x-\frac{x^3}{6}<\sin x<x$ $x\leq 1$, así que tenemos $$\sum\limits_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}-n\frac{1}{6n^3}<\sum\limits_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}-\frac{1}{6k^3}<u_n<\sum\limits_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}$ $ y $$\begin{eqnarray}\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}&=&\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sum\limits_{k=1}^{2n}\frac{1}{k}-\ln(2n)\right)-\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\ln(n)\right)+\lim\limits_{n\to\infty}(\ln(2n)-\ln(n))\\ &=&\lim\limits_{n\to\infty}(\ln(2n)-\ln(n))\\ &=&\lim\limits_{n\to\infty}\ln 2\\ &=&\ln 2\end{eqnarray} $$ mientras que claramente $\lim\limits_{n\to\infty}n\frac{1}{6n^3}=0$, así que por exprimir teorema $\lim\limits_{n\to\infty} u_n=\ln 2$.