pregunta sobre límite y serie

Question

considerar la siguiente hipótesis

• $ m\in\mathbb N$
• $c\in \mathbb C\,$ ,$\, \; a_j\in \mathbb C$
• $a_j\in \mathbb C\;$ , $\;|a_j|=1,\;\forall\;1\le j\le m$

Si $$\lim\limits_{n\to+\infty}\sum_{j=1}^{m}a^n_j=c$ $

entonces cómo probar $ c=m$ y $\forall1\le j\le m\;$, $\;a_j=1$.

Gracias de antemano

Answer 1

He aquí un resumen: Cada una de las $a_j$ es de la forma $\exp(\pi i b_j)$. Cada una de las $b_j$ puede ser aproximada por un número racional. Luego de altas potencias de $a_j$ puede ser visto para ser arbitrariamente cerca de $1$ cíclicamente, usando el mínimo común denominador de la $b_j$. Esto hace que el total cercano a $m$.

Y si $k$ de la $a_j$ no son iguales a $1$, luego de altas potencias de los $a_j$ cíclicamente tienen parte real negativa, haciendo que el total, tienen parte real $\le m-k$. Dado que el límite existe, la única solución para esto es que $k=0$, y todos ellos son igual a $1$.

De nuevo, esto es sólo un esbozo. Todos los bits sobre el ciclismo y la cercanía tendría que ser formalizada por un argumento sólido.