¿Es una función meromorphic satisfacción $f(2z)=\frac{f(z)}{1+f(z)^2}$ constante?

Question

Que $f(z)$ sea una función holomorfa en el disco de unidad satisfacción $f(0)=0$ y $$f(2z)=\frac{f(z)}{1+f(z)^2}.$ $

Extender a una función meromorphic en el plano complejo entero usando este recursividad. ¿Debe $f(z)$ ser constante? Yo creo que sí, pero no puedo probarlo.

La sustitución de $g(z)=1/f(z)$ y reordenar los rendimientos

$$g(2z)=g(z)+\frac{1}{g(z)},$$

que parece útil, pero no estoy seguro de cómo proceder después de eso.

Answer 1

Escriba $f(z)=z^kg(z)$ $k>0$, holomorhic de $g$, $g(0)\ne0$. Entonces $$2^kg(2z)=\frac{g(z)}{1+z^{2k}g(z)^2}$ $ que da una contradicción si dejamos $z=0$.

Answer 2

Desde $f(0)=0$, escriba $f(z)=a_nz^n+O(z^{n+1})$ $n>0$.

Entonces $$ \frac{f(z)}{1+f(z)^2}=(a_nz^n+O(z^{n+1}))(1-a_n^2z^{2n}+O(z^{4n}))=a_nz^n+O(z^{n+1}) $$ y f(2z)=2^na_nz^n+O(z^{n+1}) $$ $$ que después comparación coeficientes implica que el $a_n=0$. Puesto que era arbitrario $n$, $f$ debe ser idénticamente cero.