Evaluar

Question

Evaluar $\displaystyle \int \frac 1{x^{12}+1} \, dx$

He intentado escribir esto en fracciones parciales. $$\int \frac 1{x^{12}+1} \, dx=\int \frac{1}{[(x^6+1)+\sqrt{2}x^3][(x^6+1)-\sqrt{2}x^3]} \, dx$ $ Así que lo hice:\begin{align}\frac{1}{[(x^6+1)+\sqrt{2}x^3][(x^6+1)-\sqrt{2}x^3]}\\ = \frac{Ax^5+Bx^4+Cx^3+Dx^2+Ex+F}{[(x^6+1)-\sqrt{2}x^3]}+\frac{A_1x^5+B_1x^4+C_1x^3+D_1x^2+E_1x+F_1}{[(x^6+1)+\sqrt{2}x^3]}\end {Alinee el}

Después del trabajo sucio, encontré $A,A_1,B,B_1,D,D_1,E,E_1=0$ y $C=-\frac 1{2\sqrt{2}},C_1=\frac 1{2\sqrt{2}},F=\frac 12,F_1=\frac 12$.

Ahora tengo el % integral $$\int \frac{-\frac 1{2\sqrt{2}}x^3+\frac 12}{(x^6+1)-\sqrt{2}x^3}\, dx + \int \frac{\frac 1{2\sqrt{2}}x^3+\frac 12}{(x^6+1)+\sqrt{2}x^3} \, dx$$

Pero, ¿cómo puedo ir desde aquí? Estoy atrapado.

Answer 1

Respuesta 1 - uso de álgebra computacional

En el nivel de sólo hacer algunos la respuesta es relativamente simple función racional, sugiero el uso de algunas herramientas de cálculo simbólico como Mathematica de Wolfram Alpha.

En particular, para la pregunta que uno se hace de arriba, Mathematicia/Wolfram alpha te ofrece un explícito (real coeficiente de anti-derivado:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=primitive+para+el + 1%2F%28x%5E12+%2B+1%29

(Lo siento por más que proporcionar el enlace de la fórmula es bastante largo o me gustaría escribirla aquí. Mi punto es que aunque - en este punto, int tiempo - no hay software disponible, incluso en línea, que va a obtener una respuesta prácticamente de inmediato.)

Respuesta de arriba para el factor en raíces primitivas de la unidad y de integrar funcionará muy bien, pero puede ser difícil conseguir un coeficiente real de la solución de éste?

Si usted está interesado en la realidad, pasando por el cálculo real de la mano, algunas de las respuestas de la dirección que así no voy a entrar en ello. Parece que tomará un poco de trabajo. Pero tener una respuesta puede ayudar a llegar allí (ver las piezas, tomar derivados).

Respuesta 2 - aprovechar que las raíces son las raíces de la unidad

Lo siento, debería haber pensado en ello de inmediato.

Las raíces serán simples raíces de la unidad que viene en el conjugado pares, que se puede aprovechar para factorizar el polinomio en producto de factores cuadráticos (con coeficientes reales) usando el hecho de que (x-c)(x-cbar) = x - 2 Re(c) + |c|^2 (donde cbar es el conjugado de c):

por ejemplo, x^8 - x^4 + 1 =

= producto del primer 12 de raíces de -1 (1ª, 5ª, 7ª, 11ª raíces de -1 y sus conjugados)

=(x^2 + 2 cos(pi/12)x +1)(x^2 + 2 cos(11pi/12)x +1)(x^2 + 2 cos(5pi/12)x +1)(x^2 + 2 cos(7pi/12)x +1)

así

x^12 + 1

= (x^4+1)(x^8 - x^4 + 1)

= * (x^2 + 2cos(pi/4)x + 1)*(x^2 + 2cos(3pi/4)x + 1)

el cual es un completo (real!) la factorización del denominador. Puede verificar la factorización con álgebra computacional. Que debe permitir que continúe con parciales de fracciones(?) - todavía con un poco de dolor, pero al menos tiene los denominadores.

Answer 2

Sugerencia: resolver $x^{12}=-1$ en el plano complejo, luego use fracciones parciales.

Tenga en cuenta que $(-1)^{1/12}=\cos{\left(\frac{2k\pi+\pi}{12}\right)}+i\sin{\left(\frac{2k\pi+\pi}{12}\right)}$, $k=0,1,2,\cdots,11$

Ahora las raíces son:

$$\begin{matrix} x_1=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}i, & x_2=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}i \\ x_3=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i, & x_4=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i \\ x_5=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}i, &x_6=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}i \\ x_7=\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}i, & x_8=\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}i \\ x_9=-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i, & x_{10}=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i \\ x_{11}=\frac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}i, & x_{12}=\frac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}i \end{matriz} $$

por el teorema del factor:

%#% $ #% Además se sabe que $$x^{12}+1=(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_{11})(x-x_{12})$,

Entonces $(x+a+bi)(x+a-bi)=x^2+2ax+a^2+b^2$ $

Ahora aplicar fracciones parciales

Answer 3

$x^{12}+1=(x^4+1)(x^8-x^4+1)$ y $x^4+1=(x^2+x\sqrt{2}+1)(x^2-\sqrt{2}x+1)$ además tenemos $x ^ 8 x ^ 4 + 1 =-\left (\sqrt {2} {x} ^ {3} + {x} ^ {4} + x\sqrt {2} + {x} ^ {2} + 1 \right) \left (\sqrt {2} {x} ^ {3}-{x} ^ {4} + x\sqrt {2}-{x} ^ {2}-1 \right) $