Fórmula cerrada para la identidad binomial lineal

Question

Tengo la siguiente identidad:

\begin{equation} m^4 = Z{m\choose 4}+Y{m\choose 3}+X{m\choose 2}+W{m\choose 1} \end{equation}

Resolví los valores y conocí la interpretación de W, X, Y y Z en mi último post: Razonamiento combinatorio para la identidad binomial lineal

Ahora, estoy interesado en usar lo anterior para encontrar una solución de forma cerrada para: \begin{equation} \sum\limits_{k=1}^nk^4 \\ \end{equation}

No veo cómo obtener una solución de forma cerrada para la suma anterior. ¿Qué pasos puedo seguir? Me gustaría especialmente utilizar el trabajo de mi último post .

Gracias.

Answer 1

Una pista: $$\sum_{m=1}^n\binom{m}{r}=\sum_{m=1}^n \left[\binom{m+1}{r+1}-\binom{m}{r+1}\right]$$ Ahora utiliza el método de las diferencias.

Answer 2

Utilizar la identidad $$ \sum_{j=0}^{k-m}\binom{k-j}{m}\binom{j}{n}=\binom{k+1}{m+n+1} $$ ajuste $m=0$ para conseguir $$ \sum_{j=0}^{k}\binom{j}{n}=\binom{k+1}{n+1} $$ Entonces, una vez que tenemos eso $$ m^4=24\binom{m}{4}+36\binom{m}{3}+14\binom{m}{2}+1\binom{m}{1}+0\binom{m}{0} $$ conseguimos que $$ \begin{align} \sum_{m=1}^k m^4 &=24\binom{k+1}{5}+36\binom{k+1}{4}+14\binom{k+1}{3}+1\binom{k+1}{2}+0\binom{k+1}{1}\\ &=24\binom{k}{5}+60\binom{k}{4}+50\binom{k}{3}+15\binom{k}{2}+1\binom{k}{1}+0\binom{k}{0} \end{align} $$

Answer 3

Si $r>1$ :

$\sum_{k=1}^{n}\left(\begin{array}{c} k\\ r \end{array}\right)=\sum_{k=1}^{n}\left(\begin{array}{c} k-1\\ r \end{array}\right)+\sum_{k=1}^{n}\left(\begin{array}{c} k-1\\ r-1 \end{array}\right)=\\ =\sum_{k=0}^{n-1}\left(\begin{array}{c} k\\ r \end{array}\right)+\sum_{k=0}^{n-1}\left(\begin{array}{c} k\\ r-1 \end{array}\right)=\\ =\sum_{k=1}^{n}\left(\begin{array}{c} k\\ r \end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} n\\ r \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 0\\ r \end{array}\right)+\sum_{k=1}^{n}\left(\begin{array}{c} k\\ r-1 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} n\\ r-1 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} 0\\ r-1 \end{array}\right)=\\ =\sum_{k=1}^{n}\left(\begin{array}{c} k\\ r \end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} n\\ r \end{array}\right)+\sum_{k=1}^{n}\left(\begin{array}{c} k\\ r-1 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} n\\ r-1 \end{array}\right)=\\ =\sum_{k=1}^{n}\left(\begin{array}{c} k\\ r \end{array}\right)+\sum_{k=1}^{n}\left(\begin{array}{c} k\\ r-1 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} n+1\\ r \end{array}\right) $

$\sum_{k=1}^{n}\left(\begin{array}{c} k\\ r \end{array}\right)=\sum_{k=1}^{n}\left(\begin{array}{c} k\\ r \end{array}\right)+\sum_{k=1}^{n}\left(\begin{array}{c} k\\ r-1 \end{array}\right)-\left(\begin{array}{c} n+1\\ r \end{array}\right) $

$\sum_{k=1}^{n}\left(\begin{array}{c} k\\ r-1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} n+1\\ r \end{array}\right) $

O $\sum_{k=1}^{n}\left(\begin{array}{c} k\\ r \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} n+1\\ r+1 \end{array}\right) $ (para $r>0$ )

Por lo tanto, si $\begin{equation} m^4 = Z{m\choose 4}+Y{m\choose 3}+X{m\choose 2}+W{m\choose 1} \end{equation}$ entonces $\sum_{k=1}^{n}k^{4}=X\left(\begin{array}{c} n+1\\ 5 \end{array}\right)+Y\left(\begin{array}{c} n+1\\ 4 \end{array}\right)+Z\left(\begin{array}{c} n+1\\ 3 \end{array}\right)+W\left(\begin{array}{c} n+1\\ 2 \end{array}\right) $

Lo recuerdo del libro http://en.wikipedia.org/wiki/Concrete_Mathematics donde Knuth y compañía hicieron lo mismo que tú quieres hacer ahora.

También sugiero el libro relacionado $A=B$ (sobre la suma de sumas hipergeométricas) que se puede descargar legalmente aquí - http://www.math.upenn.edu/~wilf/Downld.html

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Así que, si lo he entendido bien, entonces en el caso general
$$\sum_{k=1}^{n}k^{m}=\sum_{k=1}^{m}k!\left\{ \begin{array}{c} m\\ k \end{array}\right\} \left(\begin{array}{c} n+1\\ k+1 \end{array}\right) $$