¿Por qué no existe una teoría de primer orden del pozo?

Question

Problema 1.4.1 de Teoría de los modelos de Chang y Keisler pregunta,

¿Existe una teoría del orden del pozo en el lenguaje de primer orden $\{\leq\}$ ?

Estoy bastante seguro de que la respuesta es no, ya que el orden de pozo es una propiedad de los "subconjuntos" o "predicados", y las oraciones de primer orden sólo permiten cuantificadores sobre "individuos". Sin embargo, no sé cómo demostrarlo.

En particular, para cada $n$ la frase de primer orden $$\forall x_1 \ldots x_n\left(x_1 \neq x_2 \wedge \cdots \wedge x_{n - 1} \neq x_n \rightarrow \exists y\left((y = x_1 \vee \cdots \vee y = x_n) \wedge (y \leq x_1 \wedge \cdots y \leq x_n)\right)\right)$$ dice que todo subconjunto de tamaño $n$ tiene un elemento mínimo, y no sé cómo descartar la posibilidad de que sea posible escribir sentencias análogas para subconjuntos infinitos (y que simplemente no he encontrado el enfoque adecuado todavía).

¿Cómo puedo demostrar que no existe una teoría de primer orden de pozo?

Answer 1

Si existiera una teoría así, añadiría un número contable de nuevos símbolos constantes $c_1, c_2,\dots$ y arrojar los axiomas $c_2 < c_1, c_3 < c_2, \text{etc.}$ Ahora bien, esta nueva teoría es consistente, ya que cualquier subconjunto finito de los axiomas tiene un modelo (por ejemplo, los números naturales bajo las $<$ con las constantes finitas asignadas adecuadamente), pero eso es una contradicción, ya que un modelo de la nueva teoría (completa) es una ordenación de pozos con una secuencia descendente infinita.