La prueba de que está conectado cada intervalo

Question

No entiendo la siguiente prueba de que cada intervalo está conectado en $\mathbb{R}$.

Deje $Y$ ser un intervalo en $\mathbb{R}$ y supongamos que $Y$ no está conectado.

A continuación, $Y=A\cup B$ donde $A,B\subseteq Y$ están abiertas en $Y$, $A,B\neq\emptyset$ y $A\cap B=\emptyset$. Deje $a\in A$$b\in B$. Sin pérdida de generalidad, $a<b$.

Deje $\alpha=\sup\{x\in\mathbb{R}:[a,x)\cap Y\subseteq A\}$.

A continuación,$\alpha\le b$$\alpha\in Y$. Está claro que $\alpha\in Cl_{Y}(A)$, e $A$ es cerrado en $Y$,$\alpha\in A$. Desde $A$ es abierto en $Y$, $Y$ es un intervalo, $b\in Y\setminus A$$\alpha <b$, entonces no existe $r>0$ tal que $(\alpha-r,\alpha+r)\cap Y\subseteq A$. Podemos concluir que el $[a,\alpha+r)\cap Y\subseteq A$, lo cual es una contradicción.

No entiendo por qué la $\alpha\le b$$\alpha\in Y$. ¿Alguien puede explicar esto a mí?

Gracias.

Answer 1

Si $\alpha$ eran estrictamente mayor que $b$, entonces para todos los pequeños $\varepsilon>0$ $[a,\alpha-\varepsilon) \cap Y$ contendría $b$. Pero $[a,\alpha-\varepsilon)\cap Y$ es un subconjunto de a $A$, por lo que esto implicaría $b\in A$. Contradicción, ya que $A\cap B$ está vacía.

$\alpha$ no está necesariamente en $Y$, sólo en su cierre. Para ver esto, se reducen a los casos. Si $\alpha\in Y$, hemos terminado. De lo contrario, ya que $\alpha = \sup\{x:[a,x)\cap Y\subset A\}$, existe una secuencia de puntos de $x_n \in\{x:[a,x)\cap Y\subset A\}$ convergentes a $\alpha$. Puesto que el $x_n$ mentira en $Y$, esto nos dice que existe una secuencia en $Y$ convergentes a $\alpha$, lo $\alpha$ es un punto límite y, por tanto, en el cierre.