Calcula: $\lim\limits_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{2n+k}{n^2+(2n+k)^2}$

Question

Calcula: $$\lim\limits_{n\to\infty} \sum_{k=0}^{n} \frac{2n+k}{n^2+(2n+k)^2}$$

Pensé que una suma de Riemann podría conducir a algo, pero no pude encontrar una partición adecuada. ¿Una pista, por favor?

Answer 1

Se puede reconocer una suma de Riemann, escribiendo
$$ \sum_{k=0}^{n} \frac{2n+k}{n^2+(2n+k)^2}=\frac1n \cdot\sum_{k=0}^{n} \frac{2+\frac{k}n }{1+(2+\frac{k}n)^2}, $$ luego dejar que $n \to \infty$ para obtener $$ \frac1n \cdot\sum_{k=0}^{n} \frac{2+\frac{k}n}{1+(2+\frac{k}n)^2} \to \int_0^1 \frac{2+x }{1+(2+x)^2}\:dx.\tag1 $$

Complemento . Desde $f:[0, 1] \rightarrow [0, 1]$ con $f(x)=\frac{2+x}{1+(2+x)^2}$ satisface $f \in \mathcal{C}^1([0,1])$ entonces se puede aplicar el resultado estándar $$ \frac1n\sum_{k=0}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) =\int_0^1 f(x)\,dx + \frac{f(0) + f(1)}{2n}+o\left(\frac1n \right) \tag2 $$ dando, como $n \to \infty$ ,

$$ \sum_{k=0}^{n} \frac{2n+k}{n^2+(2n+k)^2}=\frac{\ln 2}2+\frac{7}{20\: n}+o\left(\frac1n \right). \tag3 $$

De hecho, se puede expresar la suma dada en términos de la función digamma, utilizando $$ \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k+b}=\psi\left(n+b+1\right)-\psi\left(b\right), \qquad \text{Re}\:b>0, $$ y escribir $$ \sum_{k=0}^{n} \frac{2n+k}{n^2+(2n+k)^2} = \text{Re}\:\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k+(2+i)n} $$ entonces recordando el asintótica de la función digamma , como $n \to \infty$ se obtiene

$$ \sum_{k=0}^{n} \frac{2n+k}{n^2+(2n+k)^2}=\frac{\ln 2}2+\frac7{20\:n}+\frac1{300\:n^2}+\frac7{60\:000 \:n^4}+o\left(\frac1{n^5} \right).\tag4 $$