probabilidad de que dos enteros elegidos al azar de un campo cuadrático imaginario de clase 1 sean coprimos

Question

Dado un campo cuadrático imaginario $\mathbb{Q}(\sqrt{-D})$ , donde $D$ es un número de Heegner (1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163), ¿cuál es la probabilidad de que dos elementos seleccionados al azar del anillo de enteros de ese campo sean coprimos? mundo de las matemáticas : Para los enteros gaussianos es $\frac{6}{\pi^{2}K}$ , donde $K$ es la constante de Catalan, y para los enteros de Eisenstein es $\frac{6\cdot9}{\pi^{2}[\psi_{1}(1/3)-\psi_{1}(2/3)]}$ , donde $\psi_{1}$ es la función trigamma.

Podría ser respondido por el Porubský, S. "Sobre la probabilidad de que K enteros generalizados sean relativamente H-primas". Colloq. Math. 45, 91-99, 1981. referencia en la página de mathworld, pero no es un medio al que tenga acceso fácilmente.

Answer 1

Recuerde que en el caso de $\mathbb Z$ la respuesta es $6/\pi^2$ que surge conceptualmente como $1/\zeta(2)$ .

Entonces, ¿no será el mismo argumento para $K$ (de la clase número uno) dar la respuesta $1/\zeta_K(2)$ , donde $\zeta_K$ es el Dedekind $\zeta$ -función de $K$ ?

Tenemos la factorización $\zeta_K(2) = \zeta(2) L(2,\chi) = \dfrac{pi^2}{6}L(2,\chi)$ (donde $\chi$ es el quad. char. unido a $K$ ), por lo que la probabilidad debería ser $\dfrac{6}{\pi^2} \dfrac{1}{L(2,\chi)}.$

(Las fórmulas que enuncias son casos especiales de ésta).