¿Cómo puede la multiplicación de spinor representaciones (de $SO(8)$) $8_+ \otimes 8_-$ ser descompuesto en $8_v \oplus 56_v$? Donde puedo leer más acerca de la descomposición de la regla de las diferentes representaciones?
Gracias.
Respuesta
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El dado de las representaciones no son muy grandes, lo que hace que el cálculo de primeros principios no muy engorroso. Aquí sigo Slansky. Cabe destacar, que existen métodos (combinatoria y otros) que reducen la complejidad computacional de algunos de los siguientes pasos, pero se requieren más avanzados de la teoría de la representación de la Cartan-Weyl la teoría que se va a utilizar.
El mayor peso de la representación en virtud de las consideraciones de (Slansky: tabla 36):
$8_v: [1, 0, 0, 0]$
$8_+: [0, 0, 1, 0]$
$8_-: [0, 0, 0, 1]$
$56_v: [0, 0, 1, 1]$
La matriz de Cartan de $SO(8)$ está dada por: (Slansky: tabla 6)
$$\begin{pmatrix} 2& -1 & 0& 0 \\ -1& 2&-1 & -1\\ 0 & -1 &2 &0 \\ 0& -1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$
El peso de los diagramas de la spinor representaciones pueden ser construidos usando el método descrito por Slansky: página 31, que se pueden resumir de la siguiente manera: a partir de los más altos de peso, si $i$-ésima componente del peso es un entero positivo $n_i$, entonces la primitiva de peso $\alpha_i$ se resta $n_i$ veces. Si el componente es cero o negativo, no la resta se realiza. Este procedimiento se repite hasta que un peso negativo (menor peso).
Este procedimiento no da la multiplicidad de peso, y, básicamente, en cada etapa el peso de la multiplicidad debe ser calculada. Pero en nuestro caso las representaciones son multiplicidad libre, según lo revelado por el simple conteo, por lo tanto somos salvos de esta computacionalmente compleja tarea.
El peso diagrama de $8_+$
$$\begin{matrix} &[0,0,1,0] & \\ & \downarrow \alpha_3& \\ & [0,1,-1,0] & \\ & \downarrow \alpha_2& \\ & [1,-1,0,1] & \\ & \alpha_1\swarrow \searrow\alpha_4 & \\ [-1,0,0,1] & & [1,0,0,-1] \\ &\alpha_4\searrow \swarrow \alpha_1 & \\ & [-1, 1 ,0, -1] & \\ & \downarrow \alpha_2 & \\ &[0, -1 ,1, 0] & \\ & \downarrow \alpha_3& \\ & [0, 0, -1, 0] & \end{de la matriz}$$
El peso diagrama de $8_-$
\begin{matrix} &[0,0,0,1] & \\ & \downarrow \alpha_4& \\ & [0,1,0,-1] & \\ & \downarrow \alpha_2& \\ & [1,-1,1,0] & \\ & \alpha_1\swarrow \searrow\alpha_3 & \\ [-1,0,1,0] & & [1,0,-1,0] \\ &\alpha_3\searrow \swarrow \alpha_1 & \\ & [-1, 1 ,-1, 0] & \\ & \downarrow \alpha_2 & \\ &[0, -1 ,0, 1] & \\ & \downarrow \alpha_4& \\ & [0, 0, 0, -1] & \end{de la matriz}
Ahora el peso del producto tensor son las $64$ combinaciones de todas las sumas posibles de un peso de $8_+$ y un peso de $8_-$. Estas combinaciones se enumeran en el apéndice al final de esta respuesta. El positivo de pesos en esta lista son los candidatos de los más altos pesos de la representación de la suma directa de descomposición. Uno se percata de que esta lista incluye los siguientes pesos:
$ [0, 0, 1, 1]$ : Una copia
$ [1, 0, 0, 0]$ : 4 copias
El primer peso es el peso más alto de $56_v$, y el segundo de $8_v$. Pero mirando el peso diagrama de $8_v$:
\begin{matrix} &[1,0,0,0] & \\ & \downarrow \alpha_1& \\ & [-1,1,0,0] & \\ & \downarrow \alpha_2& \\ & [0,-1,1,1] & \\ & \alpha_3\swarrow \searrow\alpha_4 & \\ [0,0,-1,1] & & [0,0,1,-1] \\ &\alpha_4\searrow \swarrow \alpha_3 & \\ & [0, 1 ,-1, -1] & \\ & \downarrow \alpha_2 & \\ &[1, -1 ,0, 0] & \\ & \downarrow \alpha_1& \\ & [-1, 0, 0, 0] & \end{de la matriz}
se observa que el diagrama es simétrica, la negativa de peso es también un peso, recordando que $56_v$ es el producto tensor antisimétrico de 3 copias de $8_v$, por lo tanto cada peso de $56_v$ es el producto tensor antisimétrico de tres diferentes pesos de $8_v$, vemos que el mayor peso se puede combinar en tres combinaciones distintas de peso y su negativa, por lo tanto el peso de la $[1, 0, 0, 0]$ aparecerá como un peso intermedio de tres veces en $56_v$, por lo que tres de las cuatro apariciones de $[1, 0, 0, 0]$ en el producto tensor no son más altos pesos, así que nos queda con $56_v: [0, 0, 1, 1]$ y una única copia de $8_v: [1, 0, 0, 0]$. Por supuesto, la suma directa de dimensión está de acuerdo con el producto directo de la dimensión.
Apéndice: Los pesos de la directa representación de los productos
$$ \begin{matrix} &[ 0, 0, 1, 1]& \\ &[ 0, 1, -1, 1]& \\ &[ 1, -1, 0, 2]& \\ &[-1, 0, 0, 2]& \\ &[ 1, 0, 0, 0]& \\ &[-1, 1, 0, 0]& \\ &[ 0, -1, 1, 1]& \\ &[ 0, 0, -1, 1]& \\ &[ 0, 1, 1, -1]& \\ &[ 0, 2, -1, -1]& \\ &[ 1, 0, 0, 0]& \\ &[-1, 1, 0, 0]& \\ &[ 1, 1, 0, -2]& \\ &[-1, 2, 0, -2]& \\ &[ 0, 0, 1, -1]& \\ &[ 0, 1, -1, -1]& \\ &[ 1, -1, 2, 0]& \\ &[ 1, 0, 0, 0]& \\ &[ 2, -2, 1, 1]& \\ &[ 0, -1, 1, 1]& \\ &[ 2, -1, 1, -1]& \\ &[ 0, 0, 1, -1]& \\ &[ 1, -2, 2, 0]& \\ &[ 1, -1, 0, 0]& \\ &[-1, 0, 2, 0]& \\ &[-1, 1, 0, 0]& \\ &[ 0, -1, 1, 1]& \\ &[-2, 0, 1, 1]& \\ &[ 0, 0, 1, -1]& \\ &[-2, 1, 1, -1]& \\ &[-1, -1, 2, 0]& \\ &[-1, 0, 0, 0]& \\ &[ 1, 0, 0, 0]& \\ &[ 1, 1, -2, 0]& \\ &[ 2, -1, -1, 1]& \\ &[ 0, 0, -1, 1]& \\ &[ 2, 0, -1, -1]& \\ &[ 0, 1, -1, -1]& \\ &[ 1, -1, 0, 0]& \\ &[ 1, 0, -2, 0]& \\ &[-1, 1, 0, 0]& \\ &[-1, 2, -2, 0]& \\ &[ 0, 0, -1, 1]& \\ &[-2, 1, -1, 1]& \\ &[ 0, 1, -1, -1]& \\ &[-2, 2, -1, -1]& \\ &[-1, 0, 0, 0]& \\ &[-1, 1, -2, 0]& \\ &[ 0, -1, 1, 1]& \\ &[ 0, 0, -1, 1]& \\ &[ 1, -2, 0, 2]& \\ &[-1, -1, 0, 2]& \\ &[ 1, -1, 0, 0]& \\ &[-1, 0, 0, 0]& \\ &[ 0, -2, 1, 1]& \\ &[ 0, -1, -1, 1]& \\ &[ 0, 0, 1, -1]& \\ &[ 0, 1, -1, -1]& \\ &[ 1, -1, 0, 0]& \\ &[-1, 0, 0, 0]& \\ &[ 1, 0, 0, -2]& \\ &[-1, 1, 0, -2]& \\ &[ 0, -1, 1, -1]& \\ &[ 0, 0, -1, -1]& \end{de la matriz}$$
