Antiderivative de la función real valor $f$ tal que $f(x)\ge {1\over x}$

Question

Que $f:\mathbb R\rightarrow \mathbb R$ sea una función de satisfacción $f(x)\ge {1\over x}$ % todo $x\gt 0.$entonces a ver que $f$ no admite cualquier primitiva.

Pensé, puede asumir que tiene una primitiva y proceder con que llevan a alguna contradicción. Por lo tanto, definir $g(x)$ como $$g(x)=\int_c^x f(t)dt$$where $c\gt 0$ is a constant. Then $% $ $g(x)=\int_c^x f(t)dt\\ \ge \int_c^x{dt\over t}\\=log (t)|_c^x\\=log\ x -log\ c.$esto no parece ver ninguna contradicción. Puede por lo tanto, este enfoque en todos trabajo $?$ si fuera, qué debo hacer luego y si no cómo debo tratar $?$

Answer 1

Puede encontrar Teorema de Darboux útiles aquí: cada función derivada satisface la propiedad del valor intermedio, es decir, $$x<y\implies\exists c\in (x,y)\text{ such that }f(c)\text{ is between }f(x)\text{ and }f(y).$ $ Si usted puede mostrar que $f$ no tiene esta propiedad (sugerencia: considerar un principio de intervalo en $0$), $f$ tiene ninguna primitiva.

Answer 2

Supongamos $F'(x) = f(x)$ todos los $x\in \mathbb R.$ cualquier $x>0$ el valor medio teorema muestra que existe $c_x \in (0,x)$ tal que

$$\frac{F(x) - F(0)}{x} = F'(c_x) = f(c_x) \ge \frac{1}{c_x} > \frac{1}{x}.$$

Como $x\to 0^+,$ el lado izquierdo approaces el valor finito $F'(0),$, mientras que el lado derecho enfoques $\infty.$ Que es una contradicción, y muestra $f$ no tiene antiderivada en $\mathbb R.$

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Respuesta anterior, que de alguna manera se obtuvo un $+1.$ Supongamos $F'(x) = f(x)$ todos los $x\in \mathbb R.$ $x>0$ hemos

$$\frac{F(x) - F(0)}{x} \ge \frac{1/x -F(0)}{x}.$$

Como $x\to 0^+,$ el lado izquierdo approaces el valor finito $F'(0),$, mientras que el lado derecho, no importa lo $F(0)$ es igual, enfoques $\infty.$ Que es una contradicción, y muestra $f$ no tiene antiderivada en $\mathbb R.$

Answer 3

Me gusta la propiedad de Darboux aplicado a este.

Cómo sobre la media-teorema del valor demasiado (que está en el mismo nivel sino más popular). De hecho, "la mayoría" de los problemas sobre los derivados en este sitio se puede y tal vez debe ser respondida con una voz alta, críptico "el Uso de la MVT!"

Si existe una función continua $F:[0,1]\to\mathbb R$ tal que $F'(x)\geq 1/x$ todos los $0<x<1$ entonces el MVT da $$ \frac{F(x)-F(0)}{x 0} = F'(\xi) \geq \frac{1}\xi$$ para algunos $0<\xi <x$. En consecuencia $$F(x)-F(0) \geq \frac{x}{\xi} > 1$$ para todos los $0<x \leq 1$. Pero $F(x) > F(0)+1$ es bastante difícil de conciliar con el hecho de que $F$ debe ser continua.

Answer 4

Como sucede a menudo en este sitio el método que el OP propuesto es simplemente ignorada en favor de nuestro propio "mejor" de los métodos.

Así que, tal vez, no podemos tolerar otra respuesta al problema, esta vez empujando la idea de la OP en la dirección correcta.

Hay una antiderivada de la función $f:\mathbb R\to\mathbb R$ para que $f(x)\geq 1/x$$0<x<1$?

El OP dice que no, y sugiere una prueba por contradicción. Así que supongamos lo contrario, es decir, que no es una antiderivada $F$$f$.

Asimismo, se asume que $f$ es integrable en a $[0,1]$. Ver NOTA (#).

Entonces, para cualquier $0<x<1$,
$$ F(1)-F(x) = \int_x^1 f(t)\,dt \geq \int_x^1 \frac1t \,dt = \log 1 - \log x.$$

Pero esto significa que $F(x) \leq F(1) + \log x.$ calculamos el $$\lim_{x\to 0+ } \log x = -\infty$$ por lo $\lim_{x\to 0+ } F(x) $$-\infty$, lo que es imposible para una función continua. QED

NOTA ( # ), Pero tal vez no! Asumimos que el $f$ es integrable en a $[0,1]$. Es cierto que bajo estos supuestos? Bien $F'=f$ $$\int f(x)\,dx = F(x) + C$$ so certainly $\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a).$ No es este obvio? Hay cientos de superior matemáticos que sería totalmente de acuerdo! Por desgracia, todos ellos murió hace 200 años. Para todos del siglo 18, la integración fue justo el proceso inverso de la la diferenciación. Ya No.

La integral de Riemann no se integra todos los derivados, ni siquiera todos los delimitada. La impropia de Riemann integral no integrar a todos sin límites derivados. Mucho más potente de la integral de Lebesgue no integrar a todos sin límites los derivados. Así que esta suposición se abre una caja de pandora que es la mejor a la izquierda cerrada para estudiantes de pregrado.

Pero en lugar de abandonar la idea, hacer lo que la mayoría de nosotros estamos capacitados para hacer. Lo utilizan como una heurística no una prueba. Vemos que la idea correcta, pero tienen que llegar a él por un método diferente, en este caso un simple monotonía teorema del cálculo.

El OP solución redux.

Supongamos lo contrario, es decir, que no es una antiderivada $F$$f$. Definir $$G(x)= F(x)-\log x$$ on the interval $(0,1]$.

Entonces, para cualquier $0<x<1$, $$G'(x)=F'(x)-1/x\geq 0.$$ en consecuencia $G$ es no decreciente en $(0,1]$ y por lo tanto $$F(1)-F(x) \geq \log 1 - \log x$$ para cualquier $0<x<1$, es decir, $F(x) \leq F(1) + \log x.$ Calculamos el $$\lim_{x\to 0+ } \log x = -\infty$$ por lo $\lim_{x\to 0+ } F(x) $$-\infty$, lo que es imposible para una función continua. QED

Answer 5

Perder la paciencia? Este es un limón que se puede apretar sólo un poco más. Esta respuesta no se recibe ningún upvotes, pero algunos lectores puede ser entretenido.

Para la mayoría de nosotros, preguntando si $f$ tiene una antiderivada general se expresa por preguntarse si $f$ es un derivado.

El problema Es que hay un derivado $f$ con la propiedad de que $f(x)\geq 1/x$ para todos los puntos de $x$ en algunos intervalo de $(0,\delta)$?

Por supuesto que no! No puede ser posible! Claramente la cuestión!

Basta con mirar a los asociados conjuntos $$ \{ x: \alpha < f(x) < \beta \} .$$ Ridículo! El punto de $0$ pertenece si $\alpha<f(0)< \beta$ y está aislado en el derecho.

Sabemos todo acerca de los lances asociados de derivados. De hecho, si $f$ es un derivado, a continuación, los dos conjuntos $$ \{x:\alpha < f(x) < \beta\} \cap (x_0-\delta,x_0) \text{ y } \{x:\alpha < f(x) < \beta)\} \cap (x_0,x_0+\delta) $$ ambos tienen medida positiva para todos los $\delta>0$ si $\alpha<f(x_0)< \beta$. Asociados conjuntos de derivados son bastante grueso en cada punto en ambos lados-incluso más grueso que acaba de medida positiva, pero me ahorraré los detalles.

Así que incluso sabemos esto:

El problema Es que hay un derivado $f$ con la propiedad de que $f(x)\geq 1/x$ para casi todos los puntos $x$ en un intervalo $(0,\delta)$?
Respuesta: No.