Maneras de formalizar $\text{Ring}\approx \text{Group}\times \text{Monoid}$.

Question

En una (unidad) del anillo, los elementos de un conjunto $S$) son capaces de operar en cada uno de los otros a través de la $\cdot,+$. Si vamos a considerar los mapas $M:S\times S\to S:(a,b)\mapsto a+b$$G:S \times S \to S: (a,b )\mapsto a\cdot b$, $\left \langle S,M \right \rangle$ es un monoid y $\left \langle S,G \right \rangle$ es un grupo. Si se define la composición de mapas en $G$$M$, que son distributiva, tenemos una unidad de anillo.

Está claro que muchos abstracto-algebraica de los objetos (campos, conmutativa anillos, etc.) puede surgir de tomar el 'producto' de los otros dos objetos en un método similar al anterior.

Hay una categoría teórico-forma de ver el 'producto' de dos abstracto-algebraica de los objetos en un sentido general? ¿Existe alguna aplicación de este?

Answer 1

La Mónada de anillos está compuesto de una Ley distributiva de la Mónada para monoids sobre la Mónada para grupos abelianos. CF. Jon Beck, "Leyes distributivos", notas de conferencia en matemáticas 80, p. 119-140, 1969.

Answer 2

En cierta medida, la respuesta es sí. Hay una estructura conocida como un operad, o un multicategory, que es básicamente como una categoría sólo morfismos puede tener las tuplas de objetos como los dominios, en lugar de un solo objeto. Cualquier categoría con un monoidal producto da lugar a un operad simplemente considerando el análogo de funciones de varias variables.

Todos los operads forma una categoría, una extensión de la categoría de categorías (sin tener en cuenta el tamaño de la problema, de lo contrario insertar "pequeño" donde sea necesario). La categoría de operads tiene un muy interesante y bastante complicado tensor de productos conocidos como el Boardman-Vogt producto tensor. Con respecto a ese producto tensor de la categoría de operads está cerrado.

Ahora comienza la diversión. Para muchos, estructuras algebraicas $p$, como monoids, conmutativa monoids, los magmas (pero no para todos algebraica de la estructura, por ejemplo, grupos) hay un operad $P$ tal de que el interior de hom objeto de $[P,Q]$ modelos de la operad (y por lo tanto una categoría más de la estructura) de todos los $p$-estructuras en $Q$. En particular, hay un operad $As$ tal que $[As,Set]$, este último visto como un operad mediante el producto cartesiano de conjuntos, es precisamente el operad asociativo de monoids. Del mismo modo, hay un operad $Comm$ para conmutativa operads etc.

El Boardman-Vogt producto tensor da un camino para la construcción de operads modelado $p$-estructuras en $p'$-estructuras, simplemente porque $[P,[Q,R]]\cong[P\otimes Q,R]$. Por ejemplo, $[As,[As,Set]]$ modelos asociativos monoids en asociativa monoids, es decir, un conjunto con dos compatible monoid estructuras. Y esto es esencialmente el mismo como $[As\otimes As, Set]$. Se puede demostrar (no es difícil) que $As\otimes As\cong Comm$, mostrando que asociativa monoids en asociativa monoids son conmutativas monoids.

La situación se vuelve mucho más complicado. Véase, por ejemplo, Fiedorowicz y Boardman. Por un lento ritmo de la intro me descaradamente recomendamos Desde Operads a Dendroidal Conjuntos.