Para simplicial/celular cohomology, una manera de verlo es pensar en términos de dos estructuras celulares: si $a_1,a_2,\dotsc$ su $k$-simplices o $k$de células, que luego generan el $k$th de la cadena de grupo, y el $k$th cochain grupo es generado por sus duales $\alpha_1,\alpha_2,\dotsc$ donde $\alpha_i(a_j)=\delta_{ij}$. Usted puede, a continuación, dibuje una doble estructura de la célula que tiene un $n-k$-celda para cada $k$-célula en su espacio original, con cada celda representa un cochain, y con que cochain el envío de las cadenas que se cruza a $1$ y el resto a $0$ (y se extiende linealmente). Así que si tu espacio es una superficie, de poner un vértice en el interior de cada cara, dibujar un borde entre dos de los vértices si hay un borde entre las caras correspondientes, y agregue una cara entre un conjunto de aristas si el doble los bordes de todos se cruzan en un vértice.
A continuación, la homología de la nueva estructura de la célula es el cohomology de la estructura original. Con un campo de coeficientes en un colector, al menos. Pero sí que permite visualizar, por ejemplo, la coboundary mapa: en el caso de nuestra superficie, envía a$C^1$$C^2$, pero $C^2$ "ve 0-dimensional", y así el coboundary mapa "se parece a un mapa de los límites", que es algo que sus estudiantes están esperemos familiarizado con.
También, si lo haces con poliedros Platónicos, consigue otros poliedros Platónicos. Un cubo se convierte en un octaedro, etc. Por supuesto, todos ellos tienen el mismo (co)homología, pero tienen diferentes (co)de la cadena de grupos, de manera que estamos en niza ejemplos triviales, y más interesante que una arbitraria de la esfera.
Hatcher pasa esta muy brevemente en el comienzo de su capítulo sobre el cohomology. También da una cosa que usted puede hacer con $\mathbb{Z}$ coeficientes similar, aunque en este caso, puede ejecutar en torsión, así que no sé si es un buen ejemplo.
La otra cosa que puedes hacer es tomar el sin sentido algebraico de la tachuela. Nos gusta cohomology porque a veces queremos que los mapas van en la dirección equivocada. Por ejemplo, su estructura de anillo es más fácil trabajar con más de homología del coalgebra estructura (si sus hijos están familiarizados con homología, en este punto que se les muestra el coalgebra estructura inducida por la diagonal de la pantalla y cómo es una perra para trabajar). Y obtener tanta información de forma gratuita sólo por saber que ciertos mapas de anillo homomorphisms en lugar de gradual abelian grupo homomorphisms. No puedo pensar en un buen ejemplo de la parte superior de mi cabeza, pero sé que hay uno.
Oh, me enseñaron de Rham cohomology antes de que supiera lo que homología maneras. Creo que es bastante fácil de entender. Esa es otra opción.
