Dejemos que $\Delta$ sea el operador en $L^2(0, \infty)$ definidos de la siguiente manera: $\Delta \phi:= \phi''$ con dominio $D(\Delta):=C^\infty_0(0, \infty)$ . Es $\Delta$ ¿cerrado o cerrable? En el caso, ¿cuál es su cierre?
Respuesta
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La respuesta es sí y su cierre es el Laplaciano en $H^1_0(0, \infty) \cap H^2(0, \infty)$ . Para ver esto basta con notar que la gráfica del cierre de un operador es, por definición, el operador cuya gráfica es el cierre de la gráfica del operador original bajo la norma gráfica $\|f\|_\Delta = \|f\|_2 + \|\Delta f\|_2$ . Más explícitamente, si dejamos que $G(T)$ denotan el gráfico de $T$ tenemos $$G(\overline{\Delta }) = \overline{G(\Delta)}= \operatorname{cl} \{(f, f''): f \in C^\infty_0(0,\infty)\} = \{(f, f''): f \in H^1_0(0, \infty) \cap H^2(0, \infty)\}$$ ya que la norma del gráfico $\|\cdot \|_\Delta$ es equivalente a la norma de Sobolev.
