Pregunta sobre suma de l ' espacios p

Question

Es este verdadero o falso: $$\bigcup_{1 \leq p < q} \ell^p = \ell^q?$ $ he intentado dar un ejemplo de contador, pero no recibo alguno.

Answer 1

Probablemente no lo que buscas pero uno podría utilizar algunos análisis funcional para responder a la pregunta: si $\ell^q = \bigcup_{p<q} \ell^p =\bigcup_{n\in\mathbb N} \ell^{q-1/n}$ Baire teorema implica que algunos $\ell^{q-1/n}$ de segunda categoría en $\ell^q$ y luego el teorema abierto para el % de inclusión $\ell^{q-1/n} \hookrightarrow \ell^q$implicaría la suprayectividad de esta inclusión. Así pues, todo lo que necesitas saber es que $\ell^p \neq \ell^q$ $p<q$.

Answer 2

Considerar $$x_n = \frac{1}{(n+2)^{1/q}(\ln (n+2))^{1/q} \ln (\ln (n+2))}, \quad n =1,2, \ldots$ $ % entonces $\{x_n\}_1^{\infty} \in \ell^q$, $\{x_n\}_1^{\infty} \notin \ell^p$ $p<q$.

Answer 3

$q=\infty$, Nada te ocurra probablemente funciona como un contraejemplo.

De lo contrario, utilice el hecho de que $\sum \frac{1}{n (\log n)^a} < \infty$ $a>1$ para construir contraejemplos.