integral definida

Question

¿Puede proporcionar algunos pensamientos / ideas / ayuda en el cálculo de esta integral definitiva? Cualquier ayuda será grande ... Estoy tan atascado con éste.

Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org

dónde y $$\int_0^\infty e^{ax+bx^c}~dx$ .

Parece que este puede no tener una solución analítica limpia, pero ¿hay alguna forma estándar que se reduce a?

Muchas gracias por tu ayuda
Trambak

Answer 1

En general, no habrá no-recursiva expresiones. Por ejemplo, incluso en el caso más simple:

$$\int_0^{\infty} \!\!e^{-x^k} \, dx = \frac{1}{k}\Gamma\left(\frac{1}{k}\right) .$$

Aquí $\Gamma : \mathbb{C} \to \overline{\mathbb{C}}$ denota la función Gamma de Euler, que se define por

$$\Gamma(z) := \int_0^{\infty} e^{-t} \, t^{z-1} \, dt \, . $$

Por supuesto, hay algunos valores especiales de $k$ que dan forma cerrada expresiones, por ejemplo, $k = 2$ da $\sqrt{\pi}/2$, pero en general no tienen ninguna esperanza de encontrar una buena expresión.

(Si hubo entonces sería en el cálculo de los libros por ahora!)

Answer 2

Caso $1$: $c\leq1$

A continuación, $\int_0^\infty e^{ax+bx^c}~dx$

$=\int_0^\infty e^{ax}e^{bx^c}~dx$

$=\int_0^\infty\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{b^nx^{cn}e^{ax}}{n!}dx$

$=\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{b^n\Gamma(cn+1)}{(-a)^{cn+1}n!}$ (puede ser obtenido a partir de http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_integrals_of_exponential_functions#definite_integrals)

$=-\dfrac{1}{a}~_1\Psi_0\left[\begin{matrix}(1,c)\\-\end{matrix};\dfrac{b}{(-a)^c}\right]$ (de acuerdo a http://en.wikipedia.org/wiki/Fox%E2%80%93Wright_function)

Caso $2$: $c\geq1$

A continuación, $\int_0^\infty e^{ax+bx^c}~dx$

$=\int_0^\infty e^{ax^\frac{1}{c}}~e^{bx}~d\left(x^\frac{1}{c}\right)$

$=\dfrac{1}{c}\int_0^\infty x^{\frac{1}{c}-1}e^{ax^\frac{1}{c}}~e^{bx}~dx$

$=\int_0^\infty\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{a^nx^{\frac{n+1}{c}-1}e^{bx}}{cn!}dx$

$=\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{a^n\Gamma\left(\dfrac{n+1}{c}\right)}{(-b)^\frac{n+1}{c}~cn!}$ (puede ser obtenido a partir de http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_integrals_of_exponential_functions#definite_integrals)

$=\dfrac{1}{(-b)^\frac{1}{c}c}~_1\Psi_0\left[\begin{matrix}\left(\dfrac{1}{c},\dfrac{1}{c}\right)\\-\end{matrix};\dfrac{a}{(-b)^\frac{1}{c}}\right]$ (de acuerdo a http://en.wikipedia.org/wiki/Fox%E2%80%93Wright_function)

Answer 3

He intentado la integración por partes poco. Aquí es cómo se ve:

say $$I = \int_0^{\infty}e^{ax+bx^c}dx$$ $$ = \left(\dfrac{e^{ax+bx^c}}{a}\right)_{0}^{\infty} - \int_0^{\infty}\dfrac{bc}{a}x^{c-1}e^{ax+bx^c}dx$$ $$ = -\dfrac{1}{a} -\dfrac{1}{a}\int_0^{\infty}(a+bcx^{c-1})e^{ax+bx^c}dx + I$$

$a < 0$, $b < 0$ Y $c > 1$, esta cosa se traduce en la identidad trivial $0=0$. $c=1$, Es fácilmente computable. ¿Estoy totalmente de aquí?

Gracias Trambak