contraejemplo para enfermos posedness de la ecuación de laplace

Question

Considere la ecuación de onda con datos iniciales:

$$u_{tt}(t,x) + u_{xx}(t,x) = 0$$ $$u(0,x) = u_0(x)$$ $$u_t(0,x) = u_1(x)$$

Hadamard mostró que este problema está mal planteado: existen grandes soluciones con arbitrariamente pequeño de datos inicial. Por ejemplo, si tomamos $u(t,x) = a_{\omega} \sinh(\omega t) \sin(\omega x)$,$u_0(x) = 0$$u_1(x) = a_{\omega} \omega \sin (\omega x)$, entonces podemos hacer $u(t,x)$ crecer arbitrariamente rápido, manteniendo $u_0$ $u_1$ pequeños.

Afinando esta construcción, no es difícil ver que para cualquier $k$$\epsilon > 0$, podemos construir inicial de los datos que

$$ ||u_0||_{\infty} + ||u_0^{(1)}||_{\infty} + \ldots + ||u_0^{(k)}||_{\infty} + ||u_1||_{\infty} + ||u_1^{(1)}||_{\infty} + \ldots + ||u_1^{(k)}||_{\infty} < \epsilon $$

y $||u(\epsilon,x)||_{\infty} > \frac{1}{\epsilon}$. Esto puede ser interpretado como decir que el problema está mal planteado, incluso en un Titular de sentido.

Mi pregunta es: se puede construir un ejemplo de una solución de $u(t,x)$ con datos iniciales $u_0(x)$ $u_1(x)$ tal que

$$\sum_{i=0}^{\infty} ||u_0^{(i)}||_{\infty} + ||u_1^{(i)}||_{\infty} < \epsilon$$

mientras que $||u(\epsilon,x)||_{\infty} > \frac{1}{\epsilon}$? Este es el ejercicio 26 en http://www.math.mcgill.ca/gantumur/math580f11/downloads/notes2.pdf, lo que sugiere que debería ser posible. Una construcción explícita puede ser difícil, en cuyo caso yo sería feliz con un resumen del argumento para la existencia.

Answer 1

Estoy un poco dudoso de la reclamación. He aquí por qué. Supongamos que el más débil de la desigualdad que por cualquier $k$

$$ |\partial_x^k u_0| < \epsilon, |\partial_x^k u_1| < \epsilon. $$

Ahora, consideremos una solución de $u$ a la ecuación de Laplace con el límite indicado valores. Tenemos que a lo largo de $t = 0$

$$ |\partial_x^k u| < \epsilon, |\partial_x^k \partial_t u| < \epsilon. $$

Utilizando la ecuación tenemos

$$ |\partial_x^k \partial_t^2 u| = |\partial_x^{k+2} u| < \epsilon. $$

Y por inducción

$$ |\partial_x^k \partial_t^{2l} u| = |\partial_x^{k+2l} u| < \epsilon. $$

y

$$ |\partial_x^k \partial_t^{2l+1} u| = |\partial_x^{k+2l} \partial_t u| < \epsilon. $$

Esto implica que cada uno de derivados, espacial o temporal está limitada por $\epsilon$. La implicación práctica de esto es: dejar

$$ a_{kl} = \partial_x^k \partial_t^l u(0,0) $$

El poder formal de la serie

$$ U(t,x) = \sum_{k,l = 0}^{\infty} \frac{1}{k!l!} a_{kl} x^k t^l $$

tiene una infinidad de radio de convergencia; la función que se define es una solución, por lo que podemos identificar a $U$$u$.

Ahora, si miramos $t = \epsilon, x = 0$ de la potencia de la serie, se ve que usted tiene la suma

$$ U(\epsilon,0) = \sum_{l = 0}^{\infty} \frac{1}{l!} a_{0l} \epsilon^l$$

que podemos obligado bastante trivial por

$$ (\sup_l |a_{0l}|) \exp(\epsilon) < 2 \epsilon $$

El argumento anterior es claramente independiente de donde vamos a hacer la serie de Taylor: en lugar de tomar la serie en relación con el origen, lo hacemos en relación a $(0,x_0)$ y esto nos dice que el deseado desigualdad está muy lejos de ser verdad.

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El de arriba es básicamente un cuantitativa versión del teorema de Cauchy-Kowalevski, y que puede ampliarse fácilmente a los datos iniciales en Gevrey clases; que estamos usando aquí, que si una función suave es tal que todos sus derivados están delimitadas por una constante fija, la función debe ser real analítica.