¿Si $\int_0^\infty fdx$ existe, no $\lim_{x\to\infty}f(x)=0$?

Question

¿Existen ejemplos de funciones $f$ tan existe que $\int_0^\infty fdx$, $\lim_{x\to\infty}f(x)\neq 0$?

Que curioso porque sé para series infinitas, si $a_n\not\to 0$, entonces el $\sum a_n$ diverge. Me pregunto si hay algo similar para integrales impropias.

Answer 1

Depende de qué $\int$ significa y qué Sabe usted acerca de $f$. Este es un ejemplo continuo con los límites de los integrales de Riemann:

Que $h(x)=\max\{1-|x|,0\}$ y set $f(x)=\sum_{n=1}^\infty (-1)^n h(nx-n^2)$. Esta función tiene arriba y abajo de "topes" alrededor de enteros que se hacen más pequeños y más pequeños en área, pero con altura fija.

Answer 2

Aquí es un ejemplo más: $$f (x) = x\sin (x ^ 4)$$ este es infinitamente diferenciable función ilimitada sin límite en el infinito, pero con la integral de Riemann incorrecta finito $\mathbb{R}_+$: $$ \int_0^{+\infty}x\sin(x^4) dx = \ {t = x ^ 4\} = \frac {1} {4} \int_0^ {+ \infty} \frac {\sin t} {\sqrt {t}} dt = \frac {1} {4} \sqrt {\frac {\pi} {2}} $$

Answer 3

Si$\lim_{x\to+\infty}f(x)=l>0$, entonces$\exists M>0:l-\varepsilon<f(x)<l+\varepsilon\quad \forall x>M$, y así

$$\ int_M ^ { \ infty} f (x) dx> \ int_M ^ { \ infty} (l- \ varepsilon) dx = \ infty$$

Si$\varepsilon$ es lo suficientemente pequeño.