Dimensión fractal después de la transformación no lineal

Question

Supongamos que X(s) es un fractal de la superficie con la dimensión de Hausdorff D. Ahora tomamos una transformación no lineal f que transforma X(s) f(X(s)). En este caso, ¿cuál será la dimensión de Hausdorff de la transformación de la superficie f(X(s))?

Más de clarificación (preguntó Theo Buehler) > Vamos a empezar con un ejemplo sencillo de una dimensión de paseo aleatorio. La ruta de acceso del azar walker se convierte en un fractal con la dimensión de Hausdorff 1.5. Vamos a llamar a la ruta de $X(t)$ tiempo $t$. Entonces podemos pensar sobre el camino de $Y(t)=X(t)^3−2X(t)$. ¿Cuál será la dimensión de Hausdorff de $Y(t)$?

Añadido (por anon) > Vamos a añadir la condición de $f$. $f$ es continua, diferenciable y acotada. En este caso, la dimensión de Hausdorff siendo el mismo?

Answer 1

Si un mapa $f$ es Lipschitz (es decir, $|f(x)-f(y)| \le M |x-y|$ $M$ constante), entonces es no aumentar la dimensión de Hausdorff: $\dim f(K) \le \dim K$. Un ejemplo de una función Lipschitz es uno que es diferenciable con derivada acotada. Dimensión no aumenta, pero puede disminuir.