¿Es correcta esta prueba que los vectores son colineales?

Question

Yo era resolver el siguiente ejercicio: "Vamos a $x,y \in \mathbb{R}^n$ ser distinto de cero, tales que si $z$ es ortogonal a $x$ $z$ es ortogonal a $y$. Demostrar que $x$ $y$ son colinear".

Mi idea era: desde $x$ es distinto de cero, sabemos que podemos escribir $y =\alpha x + z$ donde $z$ es ortogonal a $x$. Pero, por hipótesis, de ser ortogonal a $x$ implica ser ortogonal a $y$, por lo que tomar el producto interior en ambos lados con $z$ tenemos:

$$\left\langle y,z \right\rangle=\alpha\left\langle x,z \right\rangle + \left\langle z,z \right\rangle = 0,$$

pero desde $\left\langle x,z\right\rangle = 0$ esto implica $|z|^2 = 0$, de modo que por las propiedades de la norma, debemos tener $z = 0$ demostrando que $y = \alpha x$.

Es esto una prueba de aceptar? Sentí que era demasiado fácil para probarlo y la respuesta en el libro es un poco diferente, así que pensé que podría haber algún error en este pensamiento.

Muchas gracias de antemano!

Answer 1

¡La prueba se ve bien para mí!

Por cierto, una manera más fácil sería señalar que $$\langle x \rangle ^{\perp} = \langle y \rangle ^{\perp} \Rightarrow \left( \langle x \rangle ^{\perp} \right)^\perp = \langle x \rangle = \left( \langle y \rangle ^{\perp} \right)^\perp = \langle y \rangle, $$ where $\langle x \rangle$ is the subspace generated by $x$. Pero algunas de estas cosas podrían no ha sido probadas en su libro aún...