Sea $G(n,m)$ Grassmannian de todos los subspaces de un espacio del vector m dim dim n $\mathbb{C}$. ¿Cómo calcular los caracteres de Euler de $G(n,m)$? Por ejemplo, $G(1, 2)$ es $\mathbb{C}P^1$ $S^2$. Así que los personajes de Euler de $G(1,2)$ es $2$. Pero, ¿cómo calcular $G(n,m)$ en general? Gracias.
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La característica de Euler para el real Grassmannians se discute en la página de la wikipedia aquí.
El complejo caso puede ser tratado de la misma manera.
EDIT (Para incluir detalles en el caso complejo):
Deje $\chi_{n,m}=\chi(G(n,m))$. A continuación, la relación de recursividad es $\chi_{n,m}=\chi_{n-1,m-1}+\chi_{n,m-1}$ y sabemos que $\chi_{0,m}=1$ todos los $m$.
Reclamo: $\chi_{n,m}=\binom{m}{n}$.
Esta afirmación puede ser verificado por (doble) de inducción. El paso inductivo se reduce a la verificación de que $\binom{m-1}{n-1}+\binom{m-1}{n}=\binom{m}{n}$.
Nota: Esto da el mismo resultado que en el considerando de la fila-grado de las formas de las matrices correspondientes a Schubert de las células, como Jyrki Lahtonen puntos.
Per Hornshøj-Schierbeck
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Puedo estar equivocado, pero no es como el cálculo de la homología de los complejos proyectiva del espacio? Las células se producen sólo en las dimensiones, por lo que el límite de mapas de todo trivial. Esta vez con un útil sistema de coordenadas se obtiene mediante la representación de un subespacio con un nxm complec de la matriz en la reducción escalonada (=líder de entrada igual a 1, sólo ceros en la parte superior de un líder, et cetera). Por ejemplo, en el caso de $G(2,4)$ de las células constan de matrices de la forma $$ \left(\begin{array}{cccc} 1&0&*&*\\ 0&1&*&* \end{array}\right), $$ $$ \left(\begin{array}{cccc} 1&*&0&*\\ 0&0&1&* \end{array}\right), $$ $$ \left(\begin{array}{cccc} 1&*&*&0\\ 0&0&0&1 \end{array}\right), $$ $$ \left(\begin{array}{cccc} 0&1&0&*\\ 0&0&1&* \end{array}\right), $$ $$ \left(\begin{array}{cccc} 0&1&*&0\\ 0&0&0&1 \end{array}\right), $$ y $$ \left(\begin{array}{cccc} 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{array}\right). $$ Cada asterisco (*) representa un desconocido número complejo, así que estas son las $r$-células, con $r=$ 8,6,4,4,2,0 respectivamente. Así, la característica de Euler de $G(2,4)$$\chi=6$.
Como una verificación de la realidad que nos tenga en cuenta que el complejo espacio proyectivo $P^m$ tiene células que consta de los vectores de longitud $m+1$ con $k$ ( $0\le k\le m$) los ceros a la izquierda, seguido por un solo líder 1, seguido de $m-k$ asteriscos. Tenemos una sola célula en todas las dimensiones en el rango de 0 a $2m$ como debe ser.
Debe ser fácil para generalizar este. Las células en $G(n,m)$ está totalmente determinado por el aumento de la secuencia de posiciones de la $n$ 1s. Yo lo tome usted a saber de cuántas maneras podemos escoger estos.
Eric Goodwin
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Este es un cálculo basado en una aplicación directa de la Atiyah-Bott localización teorema.
El uso de la versión dada por ejemplo en el papel por Aleksey Zinger:
Dado un toro actuar sin problemas en un en un colector con aislado puntos fijos, entonces la característica de Euler es igual a la cantidad de los puntos fijos de su acción.
El Grassmannian $Gr(n,m)$ puede ser identificado con el espacio de n-dimensiones ortogonales de proyectores en $\mathbb{R}^m$. Los proyectores pueden ser representados por Hermitian $m \times m $ matrices de proyección de la fila $n$. La central unitaria de grupo $U(m)$ hechos por conjugación en el conjunto de los proyectores. Los puntos fijos del subgrupo $\mathbb{T}^m$ de diagonal unitaria de las matrices de la diagonal $m \times m $ matrices de proyección de la fila $n$. Desde estas matrices tienen $n$ unidades y $m-n$ ceros a lo largo de la diagonal. Su número es igual al número de maneras distintas en las que podemos organizar $n$ unidades y $m-n$ ceros a lo largo de la diagonal, que es igual a: $\binom{m}{n}$.
