Mayoría de las definiciones de cadena de Markov es falsa

Question

Cuando la introducción de una discreta en el tiempo, los homogenouos cadenas de Markov $(X_n)_{n\geq 0}$, un montón de conferencia introductoria notas simplemente parecen suponer la existencia de una probabilidad de medida $\mathbb{P}$ en el dominio común $\Omega$ de la $X_n$, dada la distribución de $X_0$ y el de la matriz de transición $T$.

(Necesitamos $\mathbb{P}$ a hablar de cosas como $$\mathbb{P}(X_7=u \land X_{23}=v)$$ resp. $$\mathbb{P}((X_n)_{n\geq 0}=(s_n)_{n\geq 0}),$$for some $u,v$ from the state space $S$ resp. a sequence of values $(s_n)_{n\geq 0}$ ins $S$, a measure $\mathbb{P}$ es necesario.)

Sólo un conjunto de notas de la conferencia , de los muchos que he consultado, han de paso mencionó que hay una cosa tal como la Ionescu-Tulcea teorema que demuestra que la probabilidad de medida $\mathbb{P}$ de hecho existen (de ahí el título). Este teorema es curiosamente aún no está en la Wikipedia - sólo en la alemana de Wikipedia.El teorema es la forma por encima de mi cabeza para entender, como está formulado.

Mis preguntas son:

• ¿Realmente necesitamos este teorema? Si la mayoría de las conferencias notas de brillo sobre él, tal vez es trivial que se $\mathbb{P}$ existe?

• Desde el Ionescu-Tulcea teorema parece aplicar generales de las cadenas de Markov, hace su declaración (que yo no la entendemos actualmente) y la prueba tal vez simplificar significativamente la discreta, el tiempo de homogenuous cadenas de Markov (tal vez si, además, asume un número finito de espacio de estado)? Yo sería muy feliz, si yo pudiera entender es la prueba.

Answer 1

Supongamos que tu meta es construir un discreto tiempo de proceso estocástico $(X_n)_{n\ge 0}$, cada variable aleatoria toma valores en un espacio medible $(E,\mathcal E)$. El enfoque canónico es el de construir una probabilidad de medida $\Bbb P$ en el espacio de secuencias de $E^{\{0,1,2,\ldots\}}$ dotado del producto $\sigma$-campos, utilizando las coordenadas de los mapas de $X_n(\omega)$ para realizar el proceso.

El test de Kolmogorov Extensión del Teorema afirma la existencia y unicidad) de un $\Bbb P$ con finito-dimensional de la distribución dada por una constante de la familia de probabilidad de medidas, siempre que dichos probabilidad de que las medidas son de interior "regular" (que significa, en particular, que $E$ es un espacio topológico con asociados Borel $\sigma$campo $\mathcal E$...) Una simple condición suficiente que garantice este es que cada medida de probabilidad en $(E,\mathcal E)$ es interior regular; por ejemplo, $(E,\mathcal E)$ podría ser un estándar de Borel espacio. Esta regularidad en la condición de $(E,\mathcal E)$ se cumple si $E$ es contable y $\mathcal E$ es el juego de poder de $E$, como lo será para un discreto espacio de la cadena de Markov.

El Ionescu-Tulcea teorema no impone ninguna condición de regularidad en $(E,\mathcal E)$. El trade-off es que en el teorema de lo finito-dimensional distribuciones necesita ser especificado de una manera determinada por una familia de distribuciones condicionales. No todas constante de la familia de finito-dimensional de las distribuciones pueden ser especificados de esta manera (a menos que el espacio de estado es lo suficientemente regular-círculo de regreso a el teorema de Kolmogorov). Pero en el caso de una cadena de Markov (sobre un general de espacio de estado) el condicional distribuciones requeridas por que no puede ser definida una vez que la distribución inicial y el de un paso de la probabilidad de transición de kernel es dado.

En resumen, Ionescu-Tulcea se aplica para dar una construcción de cualquier tiempo discreto de la cadena de Markov. Prueba de Kolmogorov se aplica cuando el espacio de estado de la Markov-cadena-a-ser satisface una leve regularidad condición. Ambos se aplican cuando el espacio de estado es contable.

Para responder a su pregunta final, no creo que la prueba de que es más sencillo cuando el espacio de estado es discreto. Como no hay ningún aspecto topológico para la prueba, es algo más simple que la prueba del teorema de Kolomogorov.