Función real con antiderivada compleja$\frac{\sqrt{x+\sqrt{x^2+1}}}{\sqrt{x}\sqrt{x^2+1}}$?

Question

Considere la posibilidad de esta integral indefinida (estoy interesado en el intervalo de $x>0$):

$$\int \frac{\sqrt{x+\sqrt{x^2+1}}}{\sqrt{x}\sqrt{x^2+1}}dx$$

Por sustitución:

$$u=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}, \qquad x=\frac{1}{2u \sqrt{u^2-1}}$$

Tenemos una forma cerrada antiderivada:

$$\int \frac{\sqrt{x+\sqrt{x^2+1}}}{\sqrt{x}\sqrt{x^2+1}}dx=\sqrt{2} \tanh^{-1} \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} +C$$

Ahora la tangente hiperbólica inversa es real sólo para el argumento en $(-1,1)$. Pero en nuestro caso el argumento para todo real $x$$ > 1$.

¿Cómo puede la función con valores reales en $x>0$ tienen un complejo de antiderivada?

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Editar

Para ser claros, este es el correcto antiderivada. I. e. mediante la diferenciación de ella se obtiene la función en virtud de la integral.

¿Cómo explicar esto sin recurrir a complejos análisis, es decir, las ramas? Esta es una función con valores reales positivos $x$, por lo que este puede ser dado como una cesión a un primer año de cálculo estudiante por ejemplo

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Edit 2

La derivación de la antiderivada después de la sustitución:

$$\int \frac{\sqrt{x+\sqrt{x^2+1}}}{\sqrt{x}\sqrt{x^2+1}}dx=\sqrt{2} \int \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}=\sqrt{2} \int u \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}$$

$$\sqrt{x^2+1}=x(2u^2-1)$$

$$dx=-x\frac{2u^2-1}{u(u^2-1)}du$$

$$\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}=-\frac{du}{u(u^2-1)}=\frac{du}{u(1-u^2)}$$

$$\int \frac{\sqrt{x+\sqrt{x^2+1}}}{\sqrt{x}\sqrt{x^2+1}}dx=\sqrt{2} \int \frac{du}{1-u^2}=\sqrt{2} \tanh^{-1} u$$

Answer 1

Tengo la respuesta

$$\text{arctanh} = \frac12 \ln \frac{1+x}{1-x}$$

considerar $\ln(x)$ donde $x < 0 $

$$\ln(x) = \ln(|x| (-1))=$$ $$ = \ln(x) + \ln(-1)= \qquad \text{(properties of logs)} $$ $$= \ln(x) + \ln(e^{i \pi}) $$ $$= \ln(x) + i \pi$$

por lo que en su integración, el registro de un número negativo genera un constante $i \pi$ (o $ki \pi$ $k$ Dónde está una constante)-esto sólo desaparece en la constante de integración, similar a otras constantes que pueden ser generados y absorbidos en integraciones con funciones hiperbólicas inversas

Answer 2

Considere $$ u = \ sqrt {\ frac {1} {2} \ frac {1} {2} \ sqrt {1 \ frac {1} {x ^ 2}}}> \ sqrt {\ frac {1 } {2} \ frac {1} {2}} = 1 $$ Suponiendo que sus sustituciones son correctas, la integral se convierte en $$ \ sqrt {2} \ int \ frac {1} {1-u ^ 2} Du = \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ int \ left {\ frac {1} {1-u} \ frac {1} {1 u} \ Sqrt {2}} {2} \ log \ left | \ frac {1 u} {1-u} \ right | c $$ No se puede aplicar la sustitución$u=\tanh v$, como% .