$n^{th}$ derivada de una función tetration

Question

Me topé con esta peculiar función el verano pasado, a saber: $f(x)=x^{x^{x^{...^{x}}}}$, donde hay un número $n$ $x$'s en el exponente, traté de encontrar la derivada de la función y que fue un éxito, no resultó para ser el más elegante de la fórmula, pero funcionó. (En primer lugar, he inventado una nueva notación, es decir, una función como $f(x)$ se puede escribir como la siguiente: $f(x) =x^{\langle x \vert n\rangle}$ donde $x$ es el exponente que es conseguir "powered" hasta $n$ a veces). La fórmula me obtenidos por la coincidencia de patrón fue: $$f^{\prime}(x)=x^{\langle x \vert n\rangle +\langle x \vert n-1\rangle -1}\left[1+\prod_{i=0}^{n-2}x^{\langle x \vert i\rangle}\cdot \ln(x)^n+\sum_{j=1}^{n-1}\prod_{k=n-1-j}^{n-2}x^{\langle x \vert k\rangle}\cdot \ln(x)^j\right]\tag{$n\geqslant 2$}.$$ I know this looks like a mad mess and I am aware that people like this have done it more elegantely, but now for the question. This is only the first derivative of the function, is there a way, or rather is there a general derivative i.e a $n^{th}$ derivada de esta función?

Actualización: 23 de diciembre

He tratado de abordar el problema yo mismo, ya hice una pregunta y no he llegado a una etapa de decir si es imposible o posible hacerlo, sin embargo creo que estoy en el camino correcto. Al principio, pensé que la distribución del factor de $x^{\langle x \vert n \rangle +\langle x \vert n-1 \rangle -1}$ a todos los términos dentro de los paréntesis, pero rápidamente me di cuenta de que tenía que lidiar con, al menos, los derivados de la triple productos. Ahora me he dado cuenta de que la manera más fácil es diferenciar la función tal como es y obtener un producto normal y por lo tanto debo utilizar la siguiente fórmula: $$(f \cdot g)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}f^{(k)}\cdot g^{(n-k)}$$ where $f =x^{\langle x \vert n \rangle +\langle x \vert n-1 \rangle -1}$ and $g=1+\prod_{i=0}^{n-2}x^{\langle x \vert i\rangle}\cdot \ln(x)^n+\sum_{j=1}^{n-1}\prod_{k=n-1-j}^{n-2}x^{\langle x \vert k\rangle}\cdot \ln(x)^j$. Since $k$ and $n-k$ are arbitrary numbers this leads us to find the general derivative for $f$ and $g$, this is where I am right now. (I do realize that I am trying to find the $n^{th}$ derivada de la primera derivada, sino que se fija fácilmente más adelante). Por favor venga con sugerencias sobre cómo hacer frente a este problema.

Actualización: 24 de diciembre de

Me han hecho progresos con la ayuda de Maple 17, es decir, he encontrado un patrón que se repite en al menos una parte de los generales derivados, pero todavía hay una parte de ella, yo aún no puedo explicar. No obstante, presento a usted la parte de la general derivado he encontrado: $$D_x^{\xi}f(x) = x^{\langle x \vert n\rangle +\langle x \vert n-1\rangle -\xi} \Big[(-1)^{\xi}\cdot\xi! +O(x)\Big]$$

Renombré el grado de la derivada como $\xi$ desde $n$ es tomado por el número de $x$s. El $O(x)$ el (quizás) de la serie que actualmente estoy trabajando en conclusión, yo creo que estoy en el camino correcto, aunque. El enfoque de arriba con el producto de la regla resultó ser menos exitosos.

Answer 1

excelente pregunta, y un buen resultado. también la impresión de que usted ha desarrollado su propia notación. que a menudo es una forma muy efectiva de conseguir a los apretones con un problema, especialmente uno que aún no ha llegado a ser popular. Creo que hay una tendencia, sin embargo.

la notación tiende a evolucionar con el uso. la notación aquí implica una redundancia que uno no puede darse el lujo, en un tema que ya está hundiendo en contra de fronteras conceptuales. si el estudio de su notable la fórmula para la derivada, verás que todas las referencias a tetration involucrar a la incompleta símbolo: $x^{<x\mid...}$

en este uso de la inicial exponente símbolo $x$ es redundante, y complica la expresión. por lo tanto la presión evolutiva de ser concisos se fuerza el rechazo de este apéndice, y uno puede usar el símbolo $\langle x \vert n \rangle$ por sí mismo. esto está muy bien definido por (si he entendido bien): $$ \langle x \vert 0 \rangle = 1 \\ \langle x \vert n+1 \rangle = x^{\langle x \vert n \rangle} $$ para el propósito de la diferenciación de las logaritmo es útil, es decir, desde $$ ln \langle x \vert n+1 \rangle = \langle x \vert n \rangle ln \;x $$ obtenemos : $$\frac{\langle x \vert n+1 \rangle'} {\langle x \vert n+1 \rangle} = \frac{ \langle x \vert n \rangle }{x} \left( \frac{\langle x \vert n \rangle'}{\langle x \vert n \rangle}x\; ln \;x + 1 \right) $$perhaps as might be expected, the logarithmic derivative $\frac{f'}f$ cierne aquí, y no es de extrañar ver a la "entropía" de la función también hacer una aparición.

podemos abreviar la forma considerablemente si definimos: $$T^n(x) = \frac{\langle x \vert n \rangle'}{\langle x \vert n \rangle} $$ así que tenemos una forma bastante adecuado para la evaluación de recursiva : $$T^{n+1}(x) = \frac{ \langle x \vert n \rangle }{x} \left( x \;ln\ x\; T^n(x)+ 1 \right) $$ felicitaciones por su logro! Espero que estas observaciones ocasionales será de alguna utilidad o interés.