Demuestre que el% integral% #% es menor que$\int^{10}_0 \frac{x}{x^3+16}dx$

Question

Problema:

Demuestre que el% integral% #% es menor que$\int^{10}_0 \frac{x}{x^3+16}dx$

No tener idea de cómo proceder, ya que no estoy recibiendo ningún factor para que mediante la manipulación que será capaz de cancelar el numerador o denominador:

I el denominador podría haber sido$\frac{5}{6}$ podría haber sido el factor y vamos a escribir numerador como x 4-4 pero .... no obtener la pista correcta aquí .. Por favor, sugerir gracias ...

Answer 1

SUGERENCIA: Recuperación$\int_a^bf(x)\mathrm{d}x\le(b-a)M$ donde$f(x)\le M $ para$a\lt x \lt b$

(Puede utilizar las técnicas de cálculo para encontrar$M$)

Answer 2

Algún límite de la función por funciones más fáciles de integrar da límites más fuertes que$\frac56$. Cuando$x$ es pequeño, el límite superior$\dfrac{x}{16}$ es útil. Cuando$x$ es grande, más útil es el límite superior$\dfrac{1}{x^2}$. Para cada$a$ entre$0$ y$10$, tenemos$$\int^{10}_0 \frac{x}{x^3+16}\,dx\leq\int_0^a\frac{x}{16}\,dx+\int_a^{10}\frac{1}{x^2}\,dx=\frac{a^2}{32}+\frac{1}{a}-\frac{1}{10}.$$ Because this is true for all $ a% ] {16}$, it will hold when $ \ frac12$ is chosen to make the last quantity as small as possible. It has its minimum when $ a = 2$, giving a bound just under $$. However, it would also be enough here to use the upper bound when $ $

Esto también funcionaría para dar un límite superior de$, which gives $ (o un poco más pequeño si optimizamos) para$\int^{10}_0 \frac{x}{x^3+16}\,dx\leq\frac{4}{32}+\frac{1}{2}-\frac1{10}<\frac58<\frac56.$.

Answer 3

Factor $ x^3 + 16 $

Tenga en cuenta que si $x^3 + 16 = 0 $

Entonces:

$x^3 = -16$

Y por lo tanto:

$x = 2*2^{1/3}$ los tiempos de las tres raíces cúbicas de la unidad

Permite llamar a este número involucrando a las 2 de la w, para abreviar

Las raíces de la unidad son 1, (1 + i $3^{1/2}$)/2, y (1 - i $3^{1/2}$)/2 permite llamar a estos números 1, $o_1$ $o_2$ respectivamente para mantenerlo simple

Así que ahora el factor x^3 + 16....

(x - 1w)(x - $o_1w$)(x - $o_2w$)

En este punto, un estándar parcial fracción enfoque de descomposición de trabajo.

Comentario a continuación si usted me quiere explicar que... O puede hacerlo usted mismo.

Por supuesto, esto es una aproximación de fuerza bruta de la realidad, la resolución de la integral de la misma. Estoy seguro de que hay más elegantes maneras de salir de allí