Determinante del resto de una matriz primitiva módulo 2

Question

Estoy tratando de demostrar la siguiente relación para una matriz $A\in \mathbb{Z}^{m\times m} $, $m\geq 2$. Se supone que el polinomio característico de a $A$ es primitiva modulo $2$:

Si $C$ se define como el resto de $A^{2^m-1}\pmod{4}$ , es decir, $$A^{2^m-1}\equiv I+2C \pmod{4}$$ Luego de probar $$\textrm{det}(C)\equiv \textrm{det}(C+I)\equiv 1 \pmod{2}$$

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Yo: $$2C\equiv A^{2^m-1}-I\pmod{4}\Rightarrow C\equiv \frac{1}{2}(A^{2^m-1}-I)\pmod{2}$$

$$ \textrm{det}(C)\equiv \textrm{det}(\frac{1}{2}(A^{2^m-1}-I)) \pmod{2}$$

A continuación, para $C+I$ $$C+I\equiv \frac{1}{2}(A^{2^m-1}-I)+I \equiv \frac{1}{2}(A^{2^m-1}+I)\pmod{2}$$

Por lo tanto, para demostrar la declaración que debe tener: $$ \textrm{det}(\frac{1}{2}(A^{2^m-1}-I))\equiv \textrm{det}(\frac{1}{2}(A^{2^m-1}+I)) \equiv 1 \pmod{2} $$

O $$\frac{1}{2^m}\textrm{det}(A^{2^m-1}-I)\equiv \frac{1}{2^m}\textrm{det}(A^{2^m-1}+I) \equiv 1 \pmod{2}$$ $$\Rightarrow\textrm{det}(A^{2^m-1}-I)\equiv \textrm{det}(A^{2^m-1}+I) \equiv 2^{m} \pmod{2^{m+1}}$$ Si llamamos a $P_{A^{2^m-1}}(\lambda)$ el polinomio característico de a $A^{2^m-1}$ entonces sé que $\textrm{det}(A^{2^m-1}-\lambda I)\equiv P_{A^{2^m-1}}(\lambda)$, y por lo tanto $$\textrm{det}(A^{2^m-1}-I)= P_{A^{2^m-1}}(1)\,,\textrm{det}(A^{2^m-1}+I)= P_{A^{2^m-1}}(-1)$$

EDIT: he aquí que si los autovalores de a$A$$y_i$, entonces los autovalores de a $A^n$ $y_i^n$ $y_i$ puede ser complejo. Por lo tanto: $$P_{A}(\lambda)=\prod_{i=0}^m(\lambda-y_i)\Rightarrow P_{A^{2^m-1}}(\lambda)=\prod_{i=0}^m(\lambda-y_i^{2^m-1})$$ Entonces traté de calcular cada coeficiente de $P_{A^{2^m-1}}$ en términos de coeficientes de $P_{A}$, lo que conduce a algún tipo de generalización de Newton identidades le pregunté aquí, sin embargo parece que no es posible calcular todos ellos (Pregunta no ha recibido ninguna respuesta general todavía).

No pude seguir más.

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Notas:

He probado un par de matrices (de grados 2,3,4,5) con el equipo y la instrucción era cierto para ellos.

Primitivo aquí significa que el polinomio característico de $A$, $q(t)=\textrm{det}(A-tI)=t^m+a_1t^{m-1}+\ldots+a_m$, ser primitivo (irreductible) modulo 2. $$A=\left(\begin{array}{cccc} a_1 & \ldots & a_{m-1}& a_m\\ 1 & \ldots & 0 & 0\\ \vdots & \ddots & \vdots &\vdots\\ 0 & \ldots &1 & 0 \end{array}\right)$$

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Importante Editar:

Una suposición adicional es necesario para $P_A(x)$ modulo 4. Que es:

Si $P_A(x)\equiv f(x^2)+xg(x^2)\pmod 2$, la anterior afirmación es que no es verdad sólo si: $P_A(x)\equiv f(x)^2+xg(x)^2\pmod 4$

Answer 1

La afirmación no es cierta para $m=2$: Tomar $$ A=\pmatrix{1& 3\\1& 0}, \quad p_A = x^2-x-3 $$ $$ A^3 =\pmatrix{7 & 12 \\ 4 & 3} \equiv \pmatrix{3&0\\0&3} \equiv I + 2I \pmod 4 $$ por lo tanto $2C \equiv 2I \pmod 4$, $C\equiv I \pmod 2$, y $C+I\equiv 0\pmod2$, en contradicción con la afirmación de $det(C+I)\equiv 1\pmod 2$.

Aquí es otro contraejemplo para $m=3$: $$ A =\pmatrix{0&0&1\\ 1&0&3\\0&1&2}, \quad A^7 \equiv I \pmod 4, $$ por lo tanto $C=0$. El polinomio característico es $p_A=x^3+x+1$ modulo $2$, que es irreducible.

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En las construcciones por encima, me explota la siguiente. Denotar por $p_{A,2}$ $p_{A,4}$ la característica polinomios de $A$ modulo $2$$4$. La diferencia entre ellos, $p_{A,4} - p_{A,2}$ fue elegido tener grado $m-1$. Esta diferencia tiene incluso coeficientes.

A continuación, utilizando la factorización de $A^{2^m-1}-I=(A-I)(A^{2^m-2}+\dots + I)$ con $p_{A,4}(A)=0$ para reducir el grado del polinomio, se obtiene una expresión para $C$, que depende de la $A$$(p_{A,4}-p_{A,2})/2$. Eligiendo esta última para obtener $\det(C)=0$ era entonces el último paso.

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En el caso de $m=2$, la afirmación es verdadera si y sólo si $p_{A,4}$ tiene al menos uno de los coeficientes de $\{2,3\}$. Aquí, $p_{A,2}=x^2+x+1$, de todos modos. Tiene $$ UN^3-1 = (A-I)(A^2+A+I). $$ Si $p_{A,4} = x^2+x+1$,$A^3-I\equiv 0 \pmod 4$, e $C=0$. Si no, entonces $p_{A,4} = x^2+x+1 + 2q$ donde $q\in \{1,x,1+x\}$. Entonces $$ Un^3-1 \equiv (a-I)(2M) \pmod 4, $$ donde $M\in \{I,A,I+A\}$. Por lo tanto $$ C\equiv (a-I)M \equiv (A+I)M\pmod 2, $$ y $\det(C)\equiv 1\pmod 2$, desde $$ \det(A) \equiv p_{Un,2}(0) = 1, \ \det(I+A)\equiv p_{A,2}(1) = 1 \pmod 2. $$