Esta respuesta no arrojar mucha luz sobre el teorema o su prueba, sino que está orientado a responder a sus preguntas específicas sobre el contexto de la declaración. Petch Puttichai señala en un comentario que no es una prueba de dibujo en la página de Wikipedia para Khinchin constante.
El número de $a_0$ es el piso de $r$. Cuando $0\leq r<1$, $a_0=0$. Si $a_0$ fueron incluidos en la media geométrica, se haría cero en el intervalo de $[0,1)$, lo que ha medida positiva, y no tendrá efecto cuando se $r\geq 1$ porque $\lim\limits_{n\to\infty}c^{1/n}=1$ si $c>0$. (Y si $r<0$ usted no tendría que preocuparse acerca de la toma de $n^\text{th}$ raíces de un número negativo.)
Cada número real $r$ tiene una simple continuación de la fracción de expansión natural de número de $a_k$s $k\geq 1$ ($a_0$ podría ser $0$ o un entero negativo). Es una finito de expansión si $r$ es racional, pero el conjunto de los números racionales tiene una medida de $0$, por lo que puede ser ignorado aquí. De lo contrario, es infinito, y puede calcular los coeficientes por los repetidos restar, tomando el recíproco, y de tomar la palabra.
$
\begin{align*}
a_0&=\lfloor r\rfloor,\\
a_1&=\left\lfloor \dfrac{1}{r-a_0}\right\rfloor,\\
a_2&=\left\lfloor\dfrac{1}{\dfrac{1}{r-a_0}-a_1} \right\rfloor,\\
a_3&=\left\lfloor\dfrac{1}{\dfrac{1}{\dfrac{1}{r-a_0}-a_1}-a_2}\right\rfloor,
\end{align*}
$
y así sucesivamente. Por ejemplo, tome $r=\pi$: a Continuación,$r = 3.14...$, lo $a_0=3$. A continuación,$\dfrac{1}{r-3}= 7.06...$, lo $a_1=7$. A continuación,$\dfrac{1}{7.06... - 7}= 15.99...$, lo $a_2=15$. Uno más: $\dfrac{1}{15.99... -15} = 1.003...$, lo $a_3=1$. Esto le da una secuencia de aproximaciones de $\pi$, empezando con $3$, $3+\frac17=\frac{22}{7}$, $3+\frac{1}{7+\frac1{15}} = \frac{333}{106}$, y $3+\frac{1}{7+\frac{1}{15+\frac{1}{1}}}=\frac{355}{113}$, pero de continuar en una infinita sucesión convergente a $\pi$.
El artículo de Wikipedia sobre fracciones continuas resume muchos de los resultados acerca de ellos, incluyendo los resultados que implica la secuencia de "convergents" siempre converge al número en cuestión.
Como para el resultado en cuestión aquí: yo no soy creíble sobre este tema, y su pregunta primero trajo a mi atención, pero los comentarios y enlaces que indican lo siguiente:
"El teorema no es fácil de probar, el límite no es fácil de calcular, excepto en algunos casos donde no tiene igual $K$ (pero eso es un conjunto de medida cero)." - Gerry Myerson
"A pesar de que casi todos los números que cumplen esta propiedad, no se ha demostrado que para cualquier número real no específicamente construido para el propósito." -Wikipedia
