¿Por qué el momento dipolar del clorometano es más alto que el del fluorometano?

Question

En la escala de Pauling La electronegatividad del flúor y del cloro es de 3,98 y 3,16 respectivamente.

Dado que el momento del dipolo depende de la electronegatividad, ¿por qué el momento del dipolo del clorometano es más alto que el del fluorometano?

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Supongo que el tamaño más pequeño de $s$ orbital en el átomo de flúor tiene algo que ver con esto.

Answer 1

Los elementos de las transformaciones gauge pertenecen a un grupo gauge. En física, lo más típico es $SU(N)$ (tanto la teoría electrodébil, con su $SU(2)$ y la QCD para los quarks, $SU(3)$ Utiliza estos $SU(N)$ grupos; $U(1)$ que aprendemos por primera vez en el electromagnetismo -pero debemos reinterpretar la carga como la "hipercarga" cuando estudiamos la teoría electrodébil- es el único añadido que necesitamos para el Modelo Estándar). Es un grupo de todos los complejos $N\times N$ matrices $M$ que obedecen $$MM^\dagger=1, \quad \det M = 1$$ Tenga en cuenta que $M^\dagger=(M^*)^T$ es el conjugado hermitiano; la primera condición hace que la matriz sea "unitaria", por lo tanto $U$ . El determinante de una matriz unitaria puede ser cualquier número complejo cuyo valor absoluto sea igual a uno. La segunda condición dice que el determinante debe ser uno y nada más, eso es lo "especial" o $S$ condición en $SU(N)$ .

El campo gauge se transforma como $$ A_\mu \to M(A_\mu+ie\partial_\mu) M^\dagger$$ a diferentes convenciones. Eso es necesario para la derivada covariante $D_\mu$ para transformarse bien. Olvídate de la complicada fórmula anterior. La cuestión es que $A_\mu$ toma valores en el álgebra de Lie del grupo de Lie.

En otras palabras, se puede imaginar una transformación infinitesimal - infinitamente cercana a la identidad - en el grupo gauge, por ejemplo $SU(N)$ . Supongamos que $$ M = 1+i\epsilon G $$ El factor $\epsilon$ lo hace infinitesimal, el factor de $i$ es una convención popular entre los físicos pero omitida por los matemáticos (a los físicos les gusta que las cosas sean hermitianas, sin $i$ Tendrían que ser anti-Hermitianos).

Aquí, $G$ es el tipo de $N\times N$ matriz que el campo gauge puede tener como valor.

Ahora, sustituya este Ansatz por $M$ en las condiciones $MM^\dagger=1,\det M=1$ . Usted puede descuidar $\epsilon^2$ términos "muy pequeños" y las condiciones se vuelven $$1+i\epsilon G - i\epsilon G^\dagger = 1, \quad \det(1+i\epsilon G) = 1$$ Las matemáticas implican que estas condiciones son equivalentes a $$ G = G^\dagger, \quad {\rm Tr}(G) =0 .$$ Para obtener la primera, sólo he restado $1$ de ambas partes y cancelado $i\epsilon$ . Para obtener este último, utilicé la fórmula de la "suma de productos sobre permutaciones" para el determinante y observé que sólo el producto de las entradas diagonales contribuye $O(\epsilon)$ términos y son proporcionales a la suma de las entradas diagonales, la traza.

En cualquier caso, deberías tratar de entender esta matemática y su conclusión es que la Hermiticidad del generador $G$ - matrices que se combinan con varios coeficientes reales para obtener $A_\mu$ - es equivalente a que el grupo gauge sea unitario; y la ausencia de trazos es equivalente a que el grupo sea "especial", es decir, que requiera el determinante unitario.

Quizás sea útil mencionar por qué $SU(N)$ se considera la clase más "simple" de grupos gauge. El $S$ tiene que estar ahí porque $U(N)$ no es simple - es bastante isomorfo a $SU(N)\times U(1)$ donde los dos factores podrían ser tratados por separado y queremos trabajar con las piezas más pequeñas permitidas de los grupos de calibre que son $SU(N)$ y $U(1)$ . Y $SU(N)$ es más "elemental" que $SO(N)$ o $USp(2N)$ porque los números complejos son más fundamentales en la teoría de grupos (y en la física) que los números reales o los cuaterniones. De hecho, los grupos $SO(N)$ y $USp(2N)$ puede definirse como $SU(N)$ con alguna "estructura extra" (orientifolds) añadida que hace que algunos análisis teóricos de grupos naturales sean algo más enrevesados que los de $SU(N)$ . Pero todavía se puede decir que el álgebra de Lie para $SO(N)$ estaría compuesto por reales antisimétricos (o imaginarios puros antisimétricos, según las convenciones relativas a los factores de $i$ ), por analogía con las matrices hermitianas anteriores; son automáticamente sin traza.