Si$f: \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} \to \mathbb{R}_S\times\mathbb{R}_S$ es continua, entonces la imagen tiene un interior vacío.

Question

Por favor, no escribir toda la respuesta. Estoy buscando sólo sugerencias.

Aquí $\mathbb{R}_S\times\mathbb{R}_S$ es el plano de Sorgenfrey.

Mi intento, hasta ahora estaba limitado por

• Supongamos que es continua y tiene un no-vacío interior. Deje $p$ ser un punto interior. Definir $g(x)=f(x)-p$, de modo que $(0,0)$ pertenece a su interior ahora. La diagonal de la Sorgenfrey avión tiene algunas propiedades, por lo que yo estaba pensando acerca de su uso.

• Supongo que se podría extender a $\mathbb{R}$, lo $\tilde{f}(\mathbb{R})$ estaría conectado. Sin embargo, si $A$ es un básico conjunto abierto dentro de la imagen, se puede demostrar que no está conectado y la pregunta es terminado.

¿Podría usted ayudarme? :) Recuerde, sólo una sugerencia.

Saludos.

Answer 1

SUGERENCIA: Su idea de usar la diagonal (inversa) es buena. Cualquier segmento de línea$L$ en el plano con pendiente$-1$ es un incontable cerrado, conjunto discreto en el plano de Sorgenfrey. ¿Qué te dice acerca de$f^{-1}[L]$ en los irracionales?