Ejemplos de anillos con elementos idempotentes

Question

Como parte de mis estudios en teoría de anillos, me he encontrado con el concepto de elemento idempotente, es decir, un elemento $e$ tal que $e^2=e$ .

¿Existen ejemplos interesantes de anillos con elementos idempotentes?

Answer 1

Como te das cuenta, todos los anillos tienen los idempotentes $0$ y $1$ Así que la pregunta es pregunta es si tienen otros.

Si un anillo conmutativo tiene un idempotente no trivial, entonces es isomorfo a un producto de dos anillos no triviales. Lo mismo es cierto para un anillo no conmutativo, siempre que el idempotente esté en su centro.

Si $n$ es un número entero positivo que no es una potencia prima, entonces $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ tiene idempotentes no triviales.

Los anillos matriciales suelen tener muchos idempotentes, pero no suelen estar en sus centros.

Un álgebra de grupo $KG$ para un grupo finito $G$ sobre una característica cero campo $K$ tiene el idempotente central $|G|^{-1}\sum_{g\in G}g$ y normalmente otros.

Answer 2

Los idempotentes no triviales están íntimamente relacionados con las descomposiciones de productos directos. En general, cualquier idempotente $\rm e^2 = e$ se obtiene una descomposición $\rm\ R = e R + (1-e) R\ $ conocido como el Descomposición de Pierce y viceversa. Esto se extiende a cualquier conjunto finito de idempotentes con suma 1 que son mutuamente ortogonales: $\rm\ e_j\: e_k = 0\ $ si $\rm\ j \ne k\ $ . Por ejemplo, el teorema chino del resto ( CRT ) para los anillos tiene esta forma.

Answer 3

En realidad, hay anillos en los que cada elemento es idempotente. Se llaman anillos booleanos. La dualidad de Stone nos dice que

$X \mapsto C_0(X,\mathbb{F}_2)$

es una dualidad entre los espacios hausdorff localmente compactos totalmente desconectados y los anillos booleanos. La compacidad corresponde aquí a la unicidad. Por ejemplo, todo anillo booleano finito es isomorfo a $(\mathbb{F}_2)^n$ para algunos $n$ .

Answer 4

Dejemos que $X$ sea un espacio desconectado. Entonces el anillo $C(X)$ de funciones complejas continuas tiene un idempotente.

En cierto sentido, este es un ejemplo motivador, porque si $R$ tiene un idempotente no trivial, entonces $Spec(R)$ está desconectado. Dado que los elementos de $R$ pueden verse (vagamente) como funciones, podemos construir un elemento de $R$ que es "uno" en una mitad de $Spec(R)$ y "cero" en el otro. (Para precisar esto, se piensa en términos de la gavilla de funciones regulares sobre el esquema $Spec(R)$ .)

Answer 5

Se pueden calcular los idempotentes en cualquier anillo matricial cuadrado $M_n(K)$ , $K$ un campo, de la siguiente manera: $A \in M_n(K)$ es idempotente si y sólo si $A^2 = A$ . Pero esto significa que el polinomio $p(t) = t(t-1)$ aniquila $A$ . Así que el polinomio mínimo $m_A(t)$ de $A$ debe dividir $p(t)$ . Esto deja sólo cuatro posibilidades para $m_A(t)$ :

1. $m_A(t) = 1$ en cuyo caso la matriz unitaria es igual a la matriz cero $I=0$ y $K = 0$ .
2. $m_A(t) = t$ , en cuyo caso $A = 0$ .
3. $m_A(t) = t-1$ , en cuyo caso $A=I$ .
4. $m_A(t) = t(t-1)$ es el único no trivial. Significa que su matriz $A$ tiene sólo dos valores propios: $0$ y $1$ . Por ejemplo,

$ A= \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \ . $

Como todos los factores primos del polinomio mínimo tienen multiplicidad $1$ , todos se diagonalizan, por lo que es bastante fácil hacerse una idea de ellos: todos son de la forma $A = S^{-1}D S$ con $D$ una matriz diagonal con sólo $0$ y $1$ en la diagonal principal.

Las matrices de las proyecciones no triviales de Olod pertenecen a este caso.