Construir secuencia desunido de subconjuntos infinitos de $\mathbb{N}$ cuya unión no $\mathbb{N}$

Question

Posible construir un discontinuo de la secuencia de los infinitos subconjuntos de a $\mathbb{N}$ cuya unión no es $\mathbb{N}$?

Estoy pensando que esto debe ser posible.

He considerado la posibilidad de intentar definir cada secuencia como el rango de una función. Tengo que encontrar una manera de saltar sobre números naturales, de alguna manera a salir infinidad de izquierda para cada subconjunto de $\mathbb{N}$. Pensando sólo dejando fuera a $1$, por lo que el gremio no $\mathbb{N}$. No he tratado de hacer algo como esto antes. Cualquier posible sugerencias sobre cómo se puede hacer esto y no puedo pensar un poco más a ver si puedo llegar a algo? Si no puede que se me acaba de pedir una respuesta je.

Muchas gracias por su tiempo y, de entrada, se lo agradezco mucho.

Answer 1

Considerar el $A_n = \{ p_n^k : k \geq 1 \}$ $p_n$ Dónde está el número primero de $n$ th.

Answer 2

Seguro. $k\in\Bbb N$ Deje que $A_k=\{(4k+1)2^n:n\in\Bbb N\}$. Es fácil comprobar que el % de sistemas $A_k$son infinito pares disjuntos y su unión no contiene ningún número de la forma $(4k+3)2^n$.

O $\{A_k:k\in\Bbb N\}$ ser cualquier partición de $\Bbb N$ en conjuntos infinitos. $k\in\Bbb N$ Deje que $B_k=\{2n:n\in A_k\}$. Entonces $\{B_k:k\in\Bbb N\}$ es una partición del conjunto de enteros incluso no negativo en conjuntos infinitos, de cuya unión contiene por lo tanto ninguno de los enteros impares.

Answer 3

Una respuesta muy fácil: elige tu forma favorita de asignación $\mathbb{N}$ a un subconjunto de $\mathbb{N}$ (digo, los números). Ahora, toma una partición de $\mathbb{N}$ en subconjuntos disjuntos de infinitos (por ejemplo, a través de la inversa de la función de emparejamiento) y ese mapa se aplican a cada uno de los subconjuntos.

Answer 4

Puedes hacer progresiones aritméticas:
Elegir distinto $x,y \in \mathbb{N}$

Definir $$b: |x-y|+1 $ $ $$ O = \bigcup_{x \in \mathbb{N}, x \ne 1} \{x,x+2b,x+3b,\ldots\} $$ ahora solo asegurarse de que omite al menos un avance de su colección, (por la condición de $x\ne 1$), y su unión desunido, infinito no será $\mathbb{N}$.