¿Cómo puedo ver que $S(\mathbb{R}) \subset H^s(\mathbb{R})$ ¿donde el primero es Schwartz y el segundo es el espacio de Sobolev? Esto debería ser obvio según mis apuntes, pero desgraciadamente no puedo argumentar por qué debería ser cierto...
Lo que sé es que para $f \in S(\mathbb{R})$ Tengo $\hat{f} \in S(\mathbb{R})$ donde $\hat{f}$ es la transformada de Fourier de $f$ . Por lo tanto, para cualquier $k,m = 0,1,2, \dots$ Puedo encontrar constantes $c_{k,m}$ tal que \begin{equation} \sup_x |\xi^k\hat{f}^{(m)}(\xi)| \leq c_{k,m} \end{equation} Ahora necesito dar el paso para argumentar que esto implica \begin{equation} \int |(1+\xi^2)^{s/2}\hat{f}(\xi)|^2 \,d\xi < \infty \end{equation} pero ahí estoy luchando. Quiero decir que no ayuda que pueda escribir esto como \begin{equation} \int |(1+\xi^2)^{s/2}\hat{f}(\xi)|^2 \,d\xi \quad \leq \quad c^2_{0,0} \int |(1+\xi^2)^{s/2}|^2 \,d\xi \end{equation} ya que el LHS sigue siendo demasiado grande para ser finito. Tampoco basta con decir \begin{equation} \int |(1+\xi^2)^{s/2}\hat{f}(\xi)|^2 \,d\xi \quad \leq \quad \tilde{c}_{k,0} \int \,d\xi \end{equation} (donde $\tilde{c}_{k,0}$ representa una constand que obtengo expandiendo $(1 + \xi^2)^{s/2}$ y, a continuación, utilizando la propiedad que $\hat{f}$ decae más rápido que cualquier polinomio).
Debe haber algo más que pueda deducir del hecho de que $\hat{f} \in S(\mathbb{R})$ pero parece que estoy ciego.
Cualquier pista sería de gran ayuda, ¡muchas gracias!
