¿Para qué valores de $a$ el número $1/a$ tiene una representación decimal finita?

Question

Yo creo que es solo para $a=2^p5^q$, % y $p,q\geq 0 $ pero no tengo una prueba. En particular, el ejercicio dice:

"Deje que $N$ ser un número natural y $S_N=\{a\in \mathbb{N} \; :\; 1\leq a \leq N \; , \; 1/a\; \text{has a finite decimal representation}\}$. Calcular el $\displaystyle\lim_{N\to \infty} \frac{\vert S_N \vert}{\log^2N}$, donde $\vert \cdot \vert$ es el número cardinal de un conjunto.

¿Si es cierto que $1/a$ tiene una representación decimal finita iff $a=2^p 5^q $, luego $2^p \leq N \leftrightarrow p\leq \frac{\log N} {\log 2}$y $5^q \leq N \leftrightarrow q\leq \frac{\log N} {\log 5}$ y tal vez de $N$big $\vert S_N \vert \sim \frac{\log^2 N}{\log 5 \log 2 }$?

Answer 1

$\frac 1a = \sum\limits_{k=1}^n a_k*10^{-k}$ tiene una representación finita de dígitos de $n$ (es decir $a_n \ne 0$ $\iff$

$\frac {10^n}a = \sum\limits_{k=1}^na_k*10^{n-k}\in \mathbb Z$. Así $a|10^n$ lo $a = 2^p5^q$ $p, q$enteros por ciento. Además tanto % es $p$ $q$o $n$.

O en otras palabras $a = 2^p5^q = 10^p5^{n-p}$ si $n= q$ o $a = 2^p5^q = 10^q2^{n-q}$ si $n=p$. (Y si $p=q=n$ y $a = 10^n$).

Bueno... deja que decir $N = 10^m$ $S_N = \{2^p2^q|0\le p \le m; 0\le q \le m\}$ y $|S_N| = (m+1)^2$ y $\frac{|S_N|}{\log^2 N} = \frac {m^2+2m + 1}{m^2} = 1 + \frac 2m + \frac 1{m^2}$.

Así $\lim_{N\rightarrow \infty}\frac {|S_N|}{\log^2 N} = \lim_{m\rightarrow \infty}\frac{(m+1)^2}{m^2} = 1$.