¿Qué es

Question

Deje $L(x) = x - \frac{x^2}{2}$ y dejar

$$ a_n = \underbrace{L(L(\cdots L(}_{n \text{ times}}\frac{17}{n}))\cdots).$$

Estoy tratando de encontrar $\lim_{n \to \infty} n a_n$.

Realmente no sé cómo proceder. Traté de calcular el primer par de valores de $na_n$ y se representan a ellos y consiguió

El límite parece estar un poco por encima de $1.6$. (Por cierto, no estoy seguro de por qué el eje horizontal está etiquetado como eso. He trazado $na_n$ para $n \in \{ 10, \cdots, 23 \}$, debido a que los primeros valores de $n a_n$ volar. Pero por alguna razón el etiquetado comenzó a partir de $1$.)

¿Cómo puedo encontrar el límite? Tiene que haber algún tipo de truco (al parecer, esto es de la escuela secundaria de matemáticas de la competencia Matemática Premio para las Niñas", pero me he encontrado con este problema en expii), pero estoy viendo...

Edit: Frenesí Li vinculados a esta pregunta. La pregunta es la misma, pero la respuesta dada en aquel entonces (2) parece ser incorrecta. (Basado en la computación de los grandes valores, parece ser $\frac{34}{19}$.)

Answer 1

Para calcular los $na_n$ empezamos con $y=17$ y se aplican $n$ los tiempos de la transformación $$y_{new}=nL(y/n)=y-y^2/(2n)$$ es decir, $$(y_{new}-y)/\epsilon=-y^2/2$$ donde $\epsilon=1/n$. Para $n\to \infty$ esto significa que estamos resolviendo la educación a distancia $$y'=-y^2/2$$ con la condición inicial $y(0)=17$, y quieren saber $y(1)$. Las soluciones de la educación a distancia son $y(x)=2/(x+c)$, $y(0)=17$ da $c=2/17$, por lo tanto $y(1)=34/19$.

edit: En más detalle: para un determinado $n$ definimos una función $$y_n:\{0,\frac1n,\frac2n,\frac3n,\dots,1\}\to \mathbb R$$ a través de $$y_n(0)=17,\quad y\bigl(x+\frac1n\bigr)=y(x)-\frac{y(x)^2}{2n}$$ y, a continuación, extender $y_n$ a trozos función lineal $[0,1]\to \mathbb R$. Tenemos $y_n(1)=na_n$. Esta función $y_n$ es también el resultado de Euler método aproximado de la solución de los ODE $y'=-y^2/2$ con la condición inicial $y(0)=17$ y con el paso de $1/n$. La secuencia de $y_n$ converge a una solución de la educación a distancia - eso es cierto para cualquier ODA siempre que el lado derecho es (decir) localmente Lipschitz en $y$. No estoy seguro acerca de un libro de texto de referencia, aquí es lo que he encontrado en MO: https://mathoverflow.net/a/200412/9390

Answer 2

@user8268 la respuesta es increíble. Me sorprendió ver cómo las ideas se derivan de métodos numéricos, podría beneficiar a los problemas que son totalmente ajenos a primera vista. Sólo quiero añadir un par de cosas.

Como se mencionó en la respuesta. La ODA de discretización es en $[0, 1]$ con resolución de $1/n$. La siguiente figura muestra la dsicretization con $n = 8, 16, 32, 64$. $n=8$ corresponde a la curva inferior, $n=16$ corresponde a la segunda a la parte inferior de la curva, y así sucesivamente. La convergencia es evidente.

Otra observación interesante es la solución "golpes" numéricamente para $n = 7$(no se muestra), y se vuelve negativo para $n = 8$. Los comportamientos erróneos es muy común en las soluciones numéricas de la educación a distancia, donde la resolución es insuficiente. Aquí se puede estimar que la resolución mínima necesaria.

La discretización es

$$ y^{i+1} = y^i \left( 1 - \frac{y^i}{2n} \right) $$ Para mantener el positivo de la definición, debemos tener $n > y^i/2$. Aparente $y$ está disminuyendo de acuerdo a la educación a distancia, por lo $\max(y) = y^0 = 17$, luego tenemos a $n > 17/2$ o $n = 9$.