Restricciones de desigualdad en el cálculo de variaciones

Question

Resulta que Yuri la respuesta a mi pregunta anterior, mientras que la correcta (y le agradezco por su esfuerzo), no era exactamente lo que yo deseaba. No me había planteado la pregunta correctamente, así que he elegido para volver a preguntar, ya que todavía estoy luchando para implementar las estrictas restricciones de desigualdad.

Permítanme comenzar por el que descansaba la pregunta. Deseo extremise

$$Q = \int_0^h u \, \, dy$$

sujeto a las limitaciones que

$$B = \int_0^h ug \, \, dy \\ M = \int_0^h u^2 + \left(\int_0^y g(y^*) \, \, dy^*\right) \, \, dy$$

donde $B = B_0, M = M_0$ son constantes y dado. Una importante diferencia es que tenemos que $h$, el límite superior, puede variar, y de manera crucial necesitamos

$$u(h) = 0 \\ g(h) = 0 \\ \int_0^h u \, \, dy> 0 \\ \int_0^h g \, \, dy = G(h) > 0$$

Aquí está mi intento (principalmente en los siguientes @Yuri). Nos pusimos $$ G(y) = \int_0^y g(y^*) \, \, dy^*$$

tal que $$B = \int_0^h uG' \, \, dy \\ M = \int_0^h u^2 + G \, \, dy$$ y por lo tanto el Lagrangiano se convierte en

$$L(u,G,G',\lambda,\mu) = Q + \lambda(B-B_0) + \mu(M-M_0).$$ The variations of this (using Euler-Lagrange $\frac{\partial L}{\partial F} - \frac{d}{dy}\frac{\partial L}{\partial F} = 0$) se convierten en

$$1 + \lambda G' + 2\mu u = 0 \\ \mu - \lambda u' = 0 \\ \int_0^h uG' = B_0 \\ \int_0^h u^2 + G = M_0.$$

La segunda ecuación nos dice

$$u' = \frac{\lambda}{\mu} \Rightarrow u = \frac{\lambda}{\mu}y + u_0$$

Ahora desde $h$ puede variar tenemos dos transversalidad de las condiciones de

$$\left.\frac{\partial L}{\partial G'}\right|_{y=h} = 0 \\ \left.L - G' \frac{\partial L}{\partial G'}\right|_{y=h} = 0$$

La primera condición de transversalidad nos dice que

$$\lambda u(h) = 0 \Rightarrow u(h) = -\frac{\lambda}{\mu} \\ \Rightarrow u = -\frac{\mu}{\lambda}\left(h-y\right).$$

Esto es grande, ya que satisifes $u(h) = 0$.

La segunda condición de transversalidad nos dice (usando la primera ecuación de variación para darnos $G$) que

$$\mu G(h) = 0 \Rightarrow h = \frac{\lambda}{\mu^2}$$

(Sin embargo, creo que esta condición viola el requisito de $G(h) > 0$)

Vamos a calcular ahora todo lo que necesitamos,

$$B_0 = -\frac{1}{6\mu^3} \\ M_0 = \frac{\lambda}{2\mu^4} \\ \lambda = \frac{M_0}{3\left(6^{1/3}B_0^{4/3}\right)} \\ \mu = -\frac{1}{6^{1/3}B_0^{1/3}} \\ h = \frac{2^{1/3}M_0}{3^{2/3}B_0^{2/3}} \\ Q = \frac{M_0}{6^{1/3}B_0^{1/3}}.$$

Si ahora nos sub en algunos de los valores de $B_0 = 6, M_0 = 36.5$ me siento especialmente contento con la respuesta de $Q \approx 11.05, h \approx 6.696$ como se comprueba por separado un resultado que me han llegado. El problema viene con el perfil para $g$. Si se mira el perfil de $u$ tenemos todo lo que se comporte como se espera. $u(h) = 0$ $\int_0^h u \, \, dy >0$.

Sin embargo, el problema viene cuando se mira en el perfil de $g$. Podemos ver que $g(h) \neq 0$ (extrañamente $g(h/2) = 0$), y también tenemos $\int_0^h g \, \, dy = 0$ que no es estrictamente mayor que 0.

Así que mi pregunta es, ¿cómo puedo construir la maquinaria por las limitaciones a $g$ en el Lagrangiano. He leído un poco en internet sobre la posibilidad de usar variables de holgura, pero no estoy seguro de cómo llevarlas a la práctica. Los punteros sería muy apreciada.

Curiosamente, si yo fuera a transformar el perfil de $g$ $\hat{g}$tal que $g(h/2) = \hat{g}(h) = 0$ $g(0) = g^*, \hat{g}(0) = g^* / 2$ la solución para $\hat{g}$ se correspondería con el independiente del resultado que han llegado de forma idéntica.

EDITAR

Así que he encontrado un documento en el que el autor utiliza variables de holgura para imponer una condición $\theta_z \geq 0$, mi pensamiento es que esta condición es equivalente a $G' >0$. A pesar de que en su etimología, su multiplicador se convierte en una función de $z$. Algo que nunca he visto antes.

EDIT 2

Yo no estoy ahora convencido de la segunda condición de transversalidad es correcta. Esta condición $G(h) = \int_0^h g = 0$ es lo que está obligando a que el perfil de la negativa por encima de $h/2$ (para mantener el área 0). Esta realidad contradice el requisito esencial de que $\int_0^h g > 0$.

EDICIÓN 3

Pensé que sería útil añadir algunas más motivación. Este método de cálculo de variaciones, como se describe más arriba se encuentra dos soluciones perfiles para $u$ $g$ que son dadas por $$ u_1 = \frac{3 B_0 (h - y)}{M_0} \\ g_1 = \frac{3 \left(6 B_0^2 (h-y)-6^{1/3} B_0^{4/3} M_0\right)}{M_0^2} $$

que podemos ver satisfacer las ecuaciones y maximizar $Q$.

Yo creo que la verdadera solución que estoy buscando es dada por perfiles

$$ u_2 = \frac{3 B_0 (h - y)}{M_0} \\ g_2 = \frac{9 B_0^2 (h-y)}{2 M_0^2} \\ h = \frac{2^{1/3}M_0}{3^{2/3}B_0^{2/3}}$$

que puede ser mostrado para satisfacer todas las ecuaciones para$M,B$, y también dar la misma máxima $Q$. Además, el perfil de $g_2$, en particular, cumple con los requisitos que $g_2(h) = 0$$\int_0^h g_2 > 0$.

Me parece que el $g_1, g_2$ perfiles son equivalentes soluciones y yo esperaría que el cálculo de variaciones para encontrar tanto? Me resulta confuso que no.

Supongo que se podría enmarcar la cuestión en el camino. ¿Qué restricciones deben añadirse a la de Lagrange tal que el cálculo de variaciones da el me la deseada $g_2$ perfil, en lugar de la no físico $g_1$ perfil?

Answer 1

Así, la tarea es maximizar el valor de $$Q=\int\limits_0^h udy,\qquad(1)$$ teniendo en cuenta la integral de las relaciones de $$\begin{cases} B(uG') = \int\limits_0^h uG'dy = B_0\\ M(u^2+G) = \int\limits_0^h (u^2 + G)dy = M_0\\ G(y) = \int\limits_0^y g(y^*)dy^*\\ \int\limits_0^h g dy > 0, \end{casos}\qquad(2)$$ y las condiciones de contorno de $$\begin{cases} u(h) = 0\\ g(h) = 0. \end{casos}\qquad(3)$$ Esa tarea puede ser resuelto mediante el uso de Euler-Lagrange teorema de variaciones $$\dfrac{\delta \mathcal L(y,f,f')}{\delta f} = \mathcal L'_f - \dfrac{d}{dy}\mathcal L'_{f'}.$$ Entonces, para el Lagrangiano en la forma de $$\mathcal L(u, G, \lambda, \mu) = Q(u) + \lambda(B(uG')-B_0) + \mu(M(u^2+G)-M_0)$$ the requirements of zero variations with attention to $u$ and $G$ dar el siguiente complemento de ecuaciones: $$\begin{cases} 1 + \lambda g + 2\mu u = 0\\ -\lambda u' + \mu = 0.\\ \end{casos}\qquad(4)$$ $(4.2)$ $(3.1)$ conduce a $$u= - \frac\mu\lambda(h-y),\qquad(5)$$ luego de $(4.1)$ $$g(y) = \dfrac{2\mu^2}{\lambda^2}(h-y) - \dfrac1\lambda.$$ En este punto, resulta que la condición de $(3.2)$ conduce a $$\dfrac1\lambda = 0,\quad u=0,\quad g=0,$$ por lo que se contradice con $(2.4).$

En ese momento, la representación física de la tarea que significa que $h$ no es una constante y no debe ser utilizado como la optimización de la variable en la forma $$\dfrac{\partial \mathcal L}{\partial h} = 0,$$ o $$u(h) + \lambda u(h)g(h) + \mu (u^2(h)+G(h)) = 0,$$ $$G(h) = 0.$$ Entonces es fácil de conseguir $$G(y) = \dfrac{\mu^2}{\lambda^2}(2hy - y^2) - \dfrac y\lambda,$$ $$\dfrac{\mu^2}{\lambda^2}h^2 - \dfrac h\lambda = 0,$$ y que da $$\begin{cases} h = \dfrac\lambda{\mu^2}\\ g(y) = \dfrac{\mu^2}{\lambda^2}(h-2y)\\[4pt] G(y) = \dfrac{\mu^2}{\lambda^2}y(h-y). \end{casos}\qquad(6)$$ Entonces $$B_0 = -\,\dfrac{\mu^3}{\lambda^3}\int\limits_0^h(h-y)(h-2y)\,dy = -\,\dfrac{\mu^3}{\lambda^3}\left(h^2y - \dfrac32hy^2 + \dfrac23y^3\right)\biggr|_0^h = -\,\dfrac{\mu^3h^3}{6\lambda^3},$$ $$M_0 = \,\dfrac{\mu^2}{\lambda^2}\int\limits_0^h\left((h-y)^2 + y(h-y)\right)\,dy = \,\dfrac{\mu^2}{\lambda^2}h\int\limits_0^h(h-y)\,dy = \,\dfrac{\mu^2h^2}{2\lambda^2}.$$ Esto lleva a $$\dfrac\mu\lambda h = -\,\sqrt[3]{6B_0\,}$$ $$\,\sqrt[3]{6B_0\,} = \,\sqrt{2M_0\,},$$ $$Q = -\,\dfrac\mu\lambda\int\limits_0^h (h-y)\,dy = -\,\dfrac\mu\lambda\dfrac{ h^2}2 = \sqrt[3]{6B_0}\dfrac h2.$$

Y la fuente de datos no es suficiente para una respuesta inequívoca