Si $a^{-1} b^2 a=b^3$ y $b^{-1}a^2 b=a^3$ $a,b\in G$, $G$ un grupo, entonces el $a=b=1$.

Question

He tenido este problema.

Deje $G$ ser un grupo y $a,b\in G$ tal que $a^{-1} b^2 a=b^3$$b^{-1}a^2 b=a^3$. Demostrar que $a=b=1$.

De alguna manera he resuelto, pero era un poco tedioso (por ejemplo, en algún lugar en el que llegué a algo como $b^3 =a^{-3}b^{-1}a^2a^{-3}b^{-1}a^2a^{-3}b^{-1}a^2=a^{-3}b^{-1}a^{-1}b^{-1}a^{-1}b^{-1}a^{2}$). Me demostró por primera vez que el $b=a^{-2}ba^3$ (también Es cierto que $b=a^2ba^{-3}$) y, a continuación, (datos no incluidos) que $b^3=ab^6a^3$. A continuación (datos no incluidos) que $b^3 a^3=a^{-1}b$, $b^{-1}=a^4$ y a partir de ese $a^2=a^3$, a partir de que $a=e$ (Hay un montón de líneas que cubren estos detalles, pero no puede ser un error en estas líneas). Es la misma para obtener $b=e$.

Así, hay más corto, o menos tedioso para demostrarlo?

Answer 1

Esta continuación del Teorema $1$ y el Corolario $3$ de los artículo Algunas de las presentaciones de la trivial grupo por Miller y Schupp, porque $a^{-1}b^na=b^{n+1}$ $a=w=b^{-1}a^2ba^{-2}$ ha exponente suma $0$$a$.

Edit: además, me encontré con la misma pregunta aquí.