Yoneda-Lema como generalización de Cayley del teorema?

Question

Me llegó a través de la instrucción, que Yoneda-lexema es una generalización de Cayley del teorema de que los estados, que cada grupo es isomorfo a un grupo de permutaciones.

¿Cómo se hace exactamente generaliza Yoneda-lema del teorema de Cayley? Puede Cayley del teorema se deduce de Yoneda lema, es una generalización de un caso especial de Yoneda, o se trata más bien de una philosiophical declaración?

A mí me parece que Yoneda la inclusión es más canónica de Cayleys teorema, debido a que en el último, usted tiene que decidir si el grupo actúa desde la izquierda o desde la derecha en sí mismo. Pero tal vez esto es una ilusión óptica.

Answer 1

Igual de Cayley del teorema establece que cada grupo es un subgrupo de un grupo simétrico, Yoneda del lema afirma que todo (a nivel local pequeño) categoría $C$ incrusta en una categoría de functors definido en $C$.

Específicamente, Yoneda del lema afirma que si $F:C\to Set$ es un conjunto arbitrario de valores functor, a continuación,$F(A) = Nat(\hom(A,-), F)$, por lo que los naturales de las transformaciones de un hom-set functor están en bijective correspondencia con los elementos en el functor de la imagen.

Para que esto sea una recta de generalización, se puede considerar que un grupo de $G$ categoría $C_G$ (en realidad es un groupoid) con un único objeto $\ast$, y cada elemento del grupo de una de morfismos. Luego, sólo hay un único objeto, por lo que un conjunto de valores functor es la misma cosa que un conjunto de $S$ con un mapa de$G$$Bij(S,S)$, el conjunto de bijections de$S$$S$. Podemos ver esto desenrollando la definición de un conjunto de valores functor: $\ast$$S$, y a cada elemento de a $G$ va para algún mapa en $S\to S$; de los cuales todos los mapas tienen que ser bijections ya que de lo contrario el grupo de propiedades de sufrir.

Supongamos ahora que tenemos algunos de esos $G$-establecer $S$, Yoneda del lema nos dice que sus elementos son bijective natural transformaciones de$G$$S$; entonces, ¿qué es una transformación natural aquí? Nuestros dos functors se $S$, que se lleva a $\ast$$S$, e $\hom(\ast,-)$ que se lleva a $\ast$$G$; tanto como conjuntos. Una transformación natural de estos es un conjunto de valores de mapa de una imagen a la otra, de tal manera que el "obvio" plaza de la inducida por los mapas de morfismos en $C_G$ viajes - por lo tanto, $Nat(\hom(\ast,-),S)$ es la colección de $G$-conjunto de mapas de $G$ como $G$-representación a $S$ sí.

Una de las cosas Yoneda trae es un bijection $Nat(\hom(a,-),\hom(b,-)) = \hom(b,a)$: el Yoneda incrustación. Aplicado a la situación de grupo, esto nos dice que $\hom_G(G,G)=G$. Sin duda, a la izquierda de la multiplicación por un elemento es un grupo endomorfismo; y lo que esto nos dice es que estos son todos los que hay. Este bijection es exactamente lo que se utiliza en la prueba de Cayley del teorema en la página de la wikipedia.

Answer 2

También puedo añadir que tanto Yoneda y de Cayley son los resultados que se derivan de la filosofía general de la investigación de estructuras algebraicas dejándolos actuar sobre sí mismos.

1) Si dejas que un grupo de $G$ acto en sí, que se den cuenta como un subgrupo de $\mathfrak{S}_n$.

2) Si usted deja un anillo con unidad de acto en sí, que se den cuenta como un sub-anillo de $E$ donde $E$ es el subyacente aditivo grupo.

3) de igual manera, si vamos a un $k$-álgebra acto en sí, que se den cuenta como una subalgebra de $\mathcal{M}_n(k)$. En particular, esto le da a la clásica realización de $\mathbb{C}$ como una matriz álgebra$\mathbb{R}$, y la de los cuaterniones como una matriz álgebra $\mathbb{C}$ o $\mathbb{R}$.

4) Usted puede dejar que una Mentira álgebra acto en sí mismo, pero por desgracia esta acción no necesita ser fieles (álgebra de la Mentira no tiene unidades...). Así que sólo obtenga el primer paso fácil de Ado del teorema acerca de la incrustación de álgebras de Lie en mtraix álgebras.

5) Si vamos a una categoría $\mathcal{C}$ acto en sí mismo, se puede obtener una incrustación en $Fun(\mathcal{C}^{op}, Set)$, que es el contenido de Yoneda del lexema.