¿Cuáles son las restricciones en el hamiltoniano en QM?

Question

En la mecánica cuántica, se suele escribir el Hamiltoniano como:

$$\hat{H}=\hat{T}+\hat{V}$$

Pero en la mecánica clásica, hay varios motivos por los que no tienen esta forma:

• Hemos elegido a un determinado sistema de coordenadas donde no hay conservación de la energía (estamos olvidando el origen de las fuerzas externas).

• Podemos modificar el Hamiltoniano sin cambiar las ecuaciones del movimiento:

  El Lagrangiano puede ser escrita como: $L=\frac{1}{3}T^2+2TV-V^2$. El Hamiltoniano sería:

  $\hat{H}=p\left[\frac{\left(\sqrt{9p^2m^8 +32m^9V^3}+3pm^4\right)^{1/3}}{\sqrt[3]{2}m^2}-\frac{2\sqrt[3]{2}mV}{\left(\sqrt{9p^2m^8 +32m^9V^3}+3pm^4\right)}\right]-L=(T+V)^2$

  Los autovalores de este operador se $E^2$, no el de la energía.

¿Tenemos en cuenta estas posibilidades, en la mecánica cuántica? En el caso negativo, ¿por qué debemos descartar ellos?

Y (además de la necesidad de ser uno mismo-adjoint y delimitada desde abajo) el Hamiltoniano tiene algunas restricciones sobre los operadores que incluye (la posición, el momento angular,...)?

Answer 1

Mito 1: Necesitamos Unitario Tiempo De Evolución.

Problema: la Auto-Adjointness. Esto requeriría que el Hamiltoniano de ser auto-adjunto. Pero hay situaciones interesantes cuando esto no será cierto, considere los siguientes documentos:

1. F. Bagarello, A. Inoue, C. Trapani, "No-uno mismo-adjoint hamiltonianos definido por Riesz las bases". Eprint arXiv:1402.6199
2. Fabio Bagarello, Miloslav Znojil, "La dinámica del problema para no auto-adjunto de Hamilton". Operador de Teoría: Avances y Aplicaciones 221 (2012) 109--119, arXiv:1105.4716

Problema b: Sistemas Limitados. Para topológico de la teoría de campo, parametrizar los campos, o incluso el relativista de la partícula (tomando la acción a su debido tiempo), el operador Hamiltoniano ya no controla el tiempo de evolución.

El Hamiltoniano lugar se convierte en una restricción para estos sistemas. Se desvanece al actuar sobre los estados físicos. Pidiendo el tiempo de evolución operador "unitaria" es de sentido para los estados físicos.

Para más información sobre sistemas limitados, ver, por ejemplo,

1. Henneaux y Teitelboim la Cuantización de Sistemas de trocha
2. Andreas W. Wipf, "Hamilton Formalismo para Sistemas con Restricciones". Eprint arXiv:hep-th/9312078

Mito 2: Se Puede Cuantizar Nada.

No es del todo cierto. Por ejemplo, como he dicho en mi comentario, si tenemos en cuenta el oscilador armónico simple (dejar que las constantes de la simplicidad) $$ T = v^{2},\quad\mbox{and}\quad V=x^{2}$$ entonces $$ H = (p^{2}+x^{2})^{2}. $$ Pero mira, cuando tratamos de cuantización de esto, no podemos poner a los sombreros en todo y espero que todas las obras para el mejor. Por qué? Así que, ¿cómo podemos quantize $x^{2}p^{2}$? Observar $$ (\hat{x}\hat{p})^{2}\neq \hat{x}^{2}\hat{p}^{2}\neq\left(\frac{\hat{p}\hat{x}+\hat{x}\hat{p}}{2}\right)^{2}$$ Dan no equivalentes conmutadores.

Esta ambigüedad es bien conocido en la literatura. Véase, por ejemplo:

1. S. Twareque Ali, Miroslav Engliš, "cuantificación de los Métodos: Una Guía para los Físicos y los Analistas". Modif. De Matemáticas.Phys. 17 (2005) 391-490, arXiv:matemáticas-ph/0405065

Entonces...¿qué HACEMOS?

"Hacemos lo que funciona", es el lema! Sería bueno tener algún algoritmo que siempre funciona, no importa qué...pero en su lugar restringimos nuestra atención a la física relevante de las situaciones.

E incluso entonces, sólo utilizamos el cuantificada de los sistemas que hacen sentido.

En un sentido, este es el adecuado ruta: en lugar de pedir un procedimiento para convertir algo clásico en algo cuántica, debemos pensar que la naturaleza ya está cuantizada y tenemos que buscar el quantum modelo que emula a los fenómenos naturales que nos interesa.