Múltiple de Riemannian: integración por partes del derivado de la mentira

Question

¿Cómo podemos aplicar la integración por partes a la Mentira de derivados?

Antecedentes: En la formulación Hamiltoniana de la relatividad general, tenemos el impulso de restricción (utilizando resumen índice de notación, $D_a$ es la derivada covariante en las 3 dimensiones espaciales de la rebanada con positiva definida métrica, $N^a$ es un campo de vectores) $$C_{\vec{N}}=2\int\mathrm{d}^3x\,(D_aN_b)p^{ab}=\int\mathrm{d}^3x\,(\mathcal{L}_{\vec{N}}q_{ab})p^{ab}=-\int\mathrm{d}^3x\,(\mathcal{L}_{\vec{N}}p^{ab})q_{ab}$$ En esta situación, $p^{ab}$ es simétrica (2,0) tensor de la densidad de la masa 1 y $q_{ab}$ la métrica espacial que es sólo una simétrica (0,2) tensor de campo. Ahora yo podría demostrar el dado igualdades aprovechando el hecho de que $p^{ab}$ es la densidad de 1 y $q_{ab}$ es la métrica. Esto significa que la declaración de $$\int\mathrm{d}^3x\,(\mathcal{L}_{\vec{N}}q_{ab})P^{ab}=-\int\mathrm{d}^3x\,(\mathcal{L}_{\vec{N}}P^{ab})q_{ab}$$ sostiene, en general, para $q_{ab}$ siendo la métrica y $P^{ab}$ ser simétrica y de la densidad de 1. Para probar esto, escribí todo en covariante derivados y mostró la igualdad.

Sin embargo, me pregunto si hay una forma más geométrica manera de ver que esto es cierto (tal vez directamente de Stokes teorema). Por otra parte, me pregunto si el enunciado es siempre verdadera o realmente sólo en el restringido situación que podía probar.

Answer 1

Esto es cierto en general, y hay un muy buen geométrica de razón.

El primer uso que de la Mentira derivados satisface la regla de Leibniz, $$£_N(q_{ab} p^{ab})=(£_Nq_{ab})p^{ab}+q_{ab}£_Np^{ab} $$ reescribir la integral como $$\int d^3x (£_N q_{ab})p^{ab}= \int d^3x\,£_N(q_{ab}p^{ab}) - \int d^3x\,(£_N p^{ab})q_{ab} $$ Ahora tenga en cuenta que la primera integrando en el lado derecho es la Mentira derivado de un escalar densidad. Escalar las densidades de peso 1 son de la forma más natural considerar como una forma diferenciada de rango $d$ donde $d$ es la dimensión de la superficie sobre la que se están integrando más, por lo $3$ en este caso. La 3-forma en este caso es $$p^{ab}q_{ab}\tilde{\epsilon}_{ijk} $$ donde $\tilde{\epsilon}_{ijk}$ es la alternancia de símbolo. La expresión anterior es un tensor debido a $\tilde{\epsilon}$ es una densidad de peso -1, y $p^{ab}$ peso 1. Ahora aplicamos Cartan la fórmula mágica para formas diferenciales, que dice: $$ £_N = i_N d + d i_N,$$ donde $d$ es el exterior de derivados, y $i_N$ indica contracción con el vector $N$. Así que cuando la Mentira derivados de actos en un $d$ forma, el $i_N d$ plazo se desvanece porque el exterior derivada de una $d$ formulario es una $d+1$ formulario, que se desvanece para una dimensión $d$ colector. De modo que la integral nos estamos concentrando en las convierte en $$ \int_S di_N(p^{ab}q_{ab} \tilde{\epsilon}) = \int_{\partial S}i_N(p^{ab}q_{ab}\tilde{\epsilon}).$$ Aquí hemos utilizado el Stoke del teorema de relacionar la integral de una forma exacta de una integral de un formulario en la frontera de la región de integración. Si la superficie de la $S$ no tiene límites, o si usted asume los campos mueren en el límite, su identidad de resultados.

Debe quedar claro que este argumento se aplica para cualquier tipo de situación como esta: la regla de Leibniz le permite integrar por partes, y, a continuación, mediante la visualización de la extra integral como una forma diferenciada usted puede demostrar que es siempre un límite de contribución.