Encontrar cuántos números primos se encuentran en un rango dado

Question

Cuántos números primos $p$ que cumplan esta condición?

$$13! +1 \lt p \leq 13! +13$$

¿Qué método debo utilizar para resolver esto, o podría ayudarme con los primeros pasos?

Answer 1

Ninguno, ya que $13!+n$ es divisible por $n$ por cada $n\in[2,13]$ .

Esta técnica también se utiliza para demostrar que no existe un límite finito en la distancia entre dos primos, ya que para cada $n\in\mathbb{N}$ hay una secuencia consecutiva de (al menos) $n-1$ números, ninguno de los cuales es primo:

• $n!+2$ que es divisible por $2$
• $n!+3$ que es divisible por $3$
• $\dots$
• $n!+n$ que es divisible por $n$

Answer 2

Tenga en cuenta que si $2 \le k \le 12$ entonces $k \mid 13!$ porque $13! = 1 \cdot (k-1) \color{red} {\cdot k} \cdot (k+1) \cdot \dots 13$ Por lo tanto $k \mid 13! + k$ siempre que $2 \le k \le 12$ Así que ninguno de los números $13! + k$ con $2 \le k \le 12$ es primo.

Answer 3

Creo que esta pregunta se ha respondido bien más arriba. Cuando se trata de números:

$13! = 6227020800$

Así que el rango que estás buscando es: $6227020802 - 6227020813$

Números que terminan $...802, ...804, ...806, ...808, ...812$ son divisibles por $2$ .

Números que terminan $...803, ...809$ son divisibles por $3$ .

$...805, ...810$ son divisibles por $5$ .

$...807$ son divisibles por $7$ .

$...811$ y $...813$ son buenos candidatos a números primos. Podrías comprobar si son semiprimas o números compuestos. Por desgracia, $...811$ es divisible por $11$ y $...813$ es divisible por $13$ .

Answer 4

Lo que hay que recordar es que $n!$ es divisible por cada número primo $p \leq n$ . Entonces $n! + p$ también es divisible por $p$ .

En el caso concreto de $n = 13$ se deduce que $13!$ es divisible por $2, 3, 5, 7, 11, 13$ y en consecuencia, $13! + 2$ es divisible por $2$ , $13! + 3$ es divisible por $3$ ya te haces a la idea.

Así que sí, no hay primos allí.