Cuántos números primos $p$ que cumplan esta condición?
$$13! +1 \lt p \leq 13! +13$$
¿Qué método debo utilizar para resolver esto, o podría ayudarme con los primeros pasos?
Cuántos números primos $p$ que cumplan esta condición?
$$13! +1 \lt p \leq 13! +13$$
¿Qué método debo utilizar para resolver esto, o podría ayudarme con los primeros pasos?
Ninguno, ya que $13!+n$ es divisible por $n$ por cada $n\in[2,13]$ .
Esta técnica también se utiliza para demostrar que no existe un límite finito en la distancia entre dos primos, ya que para cada $n\in\mathbb{N}$ hay una secuencia consecutiva de (al menos) $n-1$ números, ninguno de los cuales es primo:
Creo que esta pregunta se ha respondido bien más arriba. Cuando se trata de números:
$13! = 6227020800$
Así que el rango que estás buscando es: $6227020802 - 6227020813$
Números que terminan $ ...802, ...804, ...806, ...808, ...812$ son divisibles por $2$ .
Números que terminan $ ...803, ...809$ son divisibles por $3$ .
$ ...805, ...810$ son divisibles por $5$ .
$...807$ son divisibles por $7$ .
$...811$ y $...813$ son buenos candidatos a números primos. Podrías comprobar si son semiprimas o números compuestos. Por desgracia, $...811$ es divisible por $11$ y $...813$ es divisible por $13$ .
Mientras que en base 10 tus observaciones sobre los números múltiplos de 2 y 5 son correctas, deberías revisar tus afirmaciones sobre los múltiplos de 3 y 7.
Iba a editarlo, porque sabía que podía confundirse. $6227020803$ es divisible por $3$ - esto es lo que se pretendía, y así sucesivamente. Tal vez no debería usar la forma plural y escribir un número entero. Para saber si un número es divisible por $7$ También habría que añadir "toma el último dígito, duplícalo y réstalo del resto del número".
Lo que hay que recordar es que $n!$ es divisible por cada número primo $p \leq n$ . Entonces $n! + p$ también es divisible por $p$ .
En el caso concreto de $n = 13$ se deduce que $13!$ es divisible por $2, 3, 5, 7, 11, 13$ y en consecuencia, $13! + 2$ es divisible por $2$ , $13! + 3$ es divisible por $3$ ya te haces a la idea.
Así que sí, no hay primos allí.
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Primer paso: ver si se puede saber si $13!+2$ es primo. Segundo paso: ver si puedes decir si $13!+3$ es primo.
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En un rango tan pequeño, en lugar de utilizar fórmulas de primos probables, se pueden utilizar manualmente pruebas de primalidad.