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Encontrar cuántos números primos se encuentran en un rango dado

Cuántos números primos $p$ que cumplan esta condición?

$$13! +1 \lt p \leq 13! +13$$

¿Qué método debo utilizar para resolver esto, o podría ayudarme con los primeros pasos?

9 votos

Primer paso: ver si se puede saber si $13!+2$ es primo. Segundo paso: ver si puedes decir si $13!+3$ es primo.

1 votos

En un rango tan pequeño, en lugar de utilizar fórmulas de primos probables, se pueden utilizar manualmente pruebas de primalidad.

11voto

barak manos Puntos 17078

Ninguno, ya que $13!+n$ es divisible por $n$ por cada $n\in[2,13]$ .

Esta técnica también se utiliza para demostrar que no existe un límite finito en la distancia entre dos primos, ya que para cada $n\in\mathbb{N}$ hay una secuencia consecutiva de (al menos) $n-1$ números, ninguno de los cuales es primo:

  • $n!+2$ que es divisible por $2$
  • $n!+3$ que es divisible por $3$
  • $\dots$
  • $n!+n$ que es divisible por $n$

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Jeje, qué tontería.

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Alex M. Puntos 9816

Tenga en cuenta que si $2 \le k \le 12$ entonces $k \mid 13!$ porque $13! = 1 \cdot (k-1) \color{red} {\cdot k} \cdot (k+1) \cdot \dots 13$ Por lo tanto $k \mid 13! + k$ siempre que $2 \le k \le 12$ Así que ninguno de los números $13! + k$ con $2 \le k \le 12$ es primo.

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Mike G Puntos 498

Creo que esta pregunta se ha respondido bien más arriba. Cuando se trata de números:

$13! = 6227020800$

Así que el rango que estás buscando es: $6227020802 - 6227020813$

Números que terminan $ ...802, ...804, ...806, ...808, ...812$ son divisibles por $2$ .

Números que terminan $ ...803, ...809$ son divisibles por $3$ .

$ ...805, ...810$ son divisibles por $5$ .

$...807$ son divisibles por $7$ .

$...811$ y $...813$ son buenos candidatos a números primos. Podrías comprobar si son semiprimas o números compuestos. Por desgracia, $...811$ es divisible por $11$ y $...813$ es divisible por $13$ .

4 votos

Mientras que en base 10 tus observaciones sobre los números múltiplos de 2 y 5 son correctas, deberías revisar tus afirmaciones sobre los múltiplos de 3 y 7.

0 votos

Iba a editarlo, porque sabía que podía confundirse. $6227020803$ es divisible por $3$ - esto es lo que se pretendía, y así sucesivamente. Tal vez no debería usar la forma plural y escribir un número entero. Para saber si un número es divisible por $7$ También habría que añadir "toma el último dígito, duplícalo y réstalo del resto del número".

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Más interesante es por qué no he incluido 6227020810 como divisible por $2$ y no por $5$ . Hay una razón importante para ello, pero no es realmente importante para la pregunta.

2voto

Bob Happ Puntos 235

Lo que hay que recordar es que $n!$ es divisible por cada número primo $p \leq n$ . Entonces $n! + p$ también es divisible por $p$ .

En el caso concreto de $n = 13$ se deduce que $13!$ es divisible por $2, 3, 5, 7, 11, 13$ y en consecuencia, $13! + 2$ es divisible por $2$ , $13! + 3$ es divisible por $3$ ya te haces a la idea.

Así que sí, no hay primos allí.

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