Matriz anillo $M_2(\mathbb{C})$, $\mathbb{C}^2$ con estructura de $M_2(\mathbb{C})$-módulo.

Question

Que $R$ sea la matriz anillo $M_2(\mathbb{C})$. Que $M = \mathbb{C}^2$ estructura natural $R$-módulo (dado por la acción habitual de matrices de $2 \times 2$ $2$-vectores dimensionales).

¿Mis preguntas son: es $M$ un proyectivo $R$-módulo? ¿Un inyectivo $R$ módulo? ¿Es gratis?

Answer 1

Si $R$ es cualquier anillo y $n \geq 1$, entonces la evidente mapa de $M_n(R) \to \bigoplus_{i=1}^{n} R^n$, el que se descompone una matriz en sus columnas es un isomorfismo de izquierda $M_n(R)$-módulos. Por lo tanto, $R^n$ es un proyectiva a la izquierda $M_n(R)$-módulo. No suele ser gratis. Si $R$ es conmutativa y distinto de cero (en general, cuando se $R$ ha IBN), a continuación, libere $M_n(R)$-módulos de rango $k$ tiene que subyace a la libre $R$-módulos de rango $n^2 \cdot k$, pero $R^n$ es un servicio gratuito de $R$-módulo de rango $n$, e $n^2 \cdot k = n$ sólo es soluble en el caso trivial $n=1$.

Si $R$ es un campo, entonces $R^n$ es un inyectiva izquierda $M_n(R)$-módulo. Una razón para esto es que la categoría de la izquierda $M_n(R)$-módulos es equivalente a la categoría de la izquierda $R$-módulos (es decir, $R$ $M_n(R)$ son Morita equivalente) y dado que cada izquierdo $R$-módulo es inyectiva, que es puramente categórica noción, el mismo de la siguiente manera para cada izquierdo $M_n(R)$-módulo. Por supuesto, esto también muestra que cada izquierdo $M_n(R)$-módulo proyectivo.

Answer 2

$M_2(\mathbb{C})$ es un anillo del semisimple, así cada módulo sobre este anillo es inyectivo y proyectivo. Además, $\mathbb C^2$ es un simple $M_2(\mathbb{C})$-módulo, y si es gratis debe ser isomorfo a $M_2(\mathbb{C})$. De hecho, $M_2(\mathbb{C})\simeq \mathbb C^2\oplus\mathbb C^2$ y por lo tanto por medio de las filas obtenemos una contradicción.