Considerar la secuencia $f_n(x) = (\sin(πnx))^n , n = 1, 2, ...,$ en el intervalo $[0,1].$

Question

Considerar la secuencia $f_n(x) = (\sin(πnx))^n , n = 1, 2, ...,$ en el intervalo $[0,1].$ prueba que cualquier $δ > 0$ allí es un conjunto de $E ⊂ [0,1]$ $m(E) > 1−δ,$ y un subsequence $f_{n_k} (x), k = 1, 2, 3...,$ tal que $\lim_{k→∞} f_{n_k} (x) = 0$ $x ∈ E.$

No está seguro de qué hacer. Desea construir un conjunto de $E$ como arriba con $f_n$ va a cero en $L_1$ norma. Luego seguiría.

Answer 1

Permítanos estimación \begin{eqnarray*} \left\Vert f_{n}\right\Vert _{1} & = & \int_{0}^{1}\left|\sin\left(\pi nx\right)\right|^{n}\, dx\\ & \overset{y=\frac{n}{2}x}{=} & \frac{2}{n}\cdot\int_{0}^{n/2}\left|\sin\left(2\pi y\right)\right|^{n}\, dy\\ & \leq & \frac{2}{n}\cdot\int_{0}^{n}\left|\sin\left(2\pi y\right)\right|^{n}\, dy\\ & = & 2\int_{0}^{1}\left|\sin\left(2\pi y\right)\right|^{n}\, dy, \end{eqnarray*} donde he utilizado ese $y\mapsto\left|\sin\left(2\pi y\right)\right|$ es $1$-periódico en el último paso.

Ahora observe que el $\left|\sin\left(2\pi y\right)\right|^{n}\leq1$ y $\left|\sin\left(2\pi y\right)\right|^{n}\xrightarrow[n\rightarrow\infty]{}0$ mientras $\left|\sin\left(2\pi y\right)\right|\neq1$. Pero $\left|\sin\left(2\pi y\right)\right|=1$ sostiene sólo por $y\in\left\{ \frac{1}{4},\frac{3}{4}\right\} $, es decir, en un conjunto finito, por lo tanto en un valor nulo. Por lo tanto, $\left|\sin\left(2\pi y\right)\right|^{n}\xrightarrow[n\rightarrow\infty]{}0$ en casi todas partes.

El uso de convergencia dominada, llegamos a la conclusión de $\left\Vert f_{n}\right\Vert _{1}\xrightarrow[n\rightarrow\infty]{}0$.

Es bien conocido (cf. Larga convergencia en $L^p$) que todos los $L^{1}$convergentes, secuencia $\left(f_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ tiene una larga $\left(f_{n_{k}}\right)_{k\in\mathbb{N}}$, de modo que $f_{n_{k}}\left(x\right)\xrightarrow[n\rightarrow\infty]{}f\left(x\right)$ casi en todas partes, donde $f$ $L^{1}$- límite.

Por lo tanto, se puede incluso llevar a $E\subset\left[0,1\right]$$m\left(E\right)=1$, porque hay una larga $\left(f_{n_{k}}\right)_{k\in\mathbb{N}}$ la convergencia a cero en casi todas partes.