Espectro de $\int\limits_0^x f(t) dt$ operador

Question

Dejar definido de $A\colon E\to E$ $A(f)(x)= \int\limits_0^x f(t) dt$. Tengo que encontrar el espectro de $A$ en el % de casos $E=C[0,1]$y $E=L_2[0,1]$. He probado que $A$ no tiene valores propios, pero no encuentro el espectro completo.

Answer 1

El operador $A$ es compacto en ambos casos (cuando $E=L_2[0,1]$ en realidad, es más, es de Hilbert-Schmidt, y al $E=C[0,1]$ la compacidad de la siguiente manera a partir de Arzela-Ascoli), por lo que cualquier valor distinto de cero $\lambda\in \sigma(A)$ es un autovalor. Si usted ha demostrado que no existen autovalores distintos de cero, ya que $\sigma(A)$ es no vacío, entonces $\sigma(A)=\{0\}$.

La otra forma de hacerlo es utilizar Gelfand del resultado para el espectro de radio, es decir, el límite de $\lim_{n\rightarrow \infty}\|A^n\|^{1/n}$ existe y es idéntica a la de $\sup_{\lambda\in\sigma(A)}|\lambda|$. Por ejemplo, si $E=C[0,1]$, entonces no es difícil mostrar que $\|A^n\|\leq \frac{1}{n!}$$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{(n!)^{1/n}}=0$, por lo que el espectro de radio es cero y, por tanto,$\sigma(A)=\{0\}$.