Mostrar que $\int_{0}^{1}{\frac{\sin{x}}{x}\mathrm dx}$ converge

Question

Como dice el título, necesito demostrar que la siguiente integral converge, y honestamente puedo decir que realmente no tengo idea de por dónde empezar. Intenté evaluarlo usando integración por partes, pero eso solo me dejó con una situación de $I = I$.

$$\int \limits_{0}^{1}{\frac{\sin{x}}{x} \mathrm dx}$$

Answer 1

Se observa que, para todo $0 < x < 1$, tenemos \begin{eqnarray*} \left|\int_0^1 \frac{\sin x}{x} \, \operatorname{d}\!x\right| &\le& \int_0^1 \left|\frac{\sin x}{x} \right| \operatorname{d}\!x \\ \\ &\le& \int_0^1 1 \, \operatorname{d}\!x \\ \\ &\le& 1 \end{eqnarray*>

Answer 2

Tenga en cuenta que $\frac{\sin x}{x} = \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n+1)!}$.

Luego, para $|x| \le M$, tenemos $\left| \frac{\sin x}{x} \right| \le \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{2n}}{(2n+1)!} \le \sum_{n=1}^\infty \frac{M^{2n}}{(2n+1)!} \le \frac{1}{M} e^M$.

Answer 3

Tomemos la función $f(x)= \left \{ \begin{array}{cc} \frac{\sin x}{x} & x \in (0,1]\\ 1& x=0 \end{array} \right .$

Observamos que esta función es continua en $[0,1]$ por lo tanto es integrable de Riemann en $[0,1]$