Integrar

Question

Integrar: $$\int \sqrt{(\sec{x} +\tan{x})}\ \cdot \sec^2x\,dx

Mi intento:

Sustituido $\sec{x} + \tan{x}$ $t^2$

Entonces, $$ (\sec{x} \cdot \tan{x} + \sec^2x) dx =2tdt

$$\sec{x}( \tan{x} + \sec{x}) dx =2tdt$$

$$\sec{x}\cdot t^2 dx =2tdt$$

Pero hay $\sec{x}$ exterior izquierdo.

Answer 1

$\bf{My\; Solution::}$ Let $\displaystyle I = \int \sqrt{\sec x+\tan x}\cdot \sec^2 xdx = \int\frac{\sqrt{\sec^2 x-\tan^2 x}}{\sqrt{\sec x-\tan x}}\cdot \sec^2 xdx$

Ahora Integral $\displaystyle I = \int\frac{\sec^2 x}{\left(\sec x-\tan x \right)^{\frac{1}{2}}}dx$

Ahora que $\left(\sec x-\tan x \right) = t^2\;,$ % entonces $\sec x\cdot \left(\tan x-\sec x\right)dx = 2tdt\Rightarrow \sec x\cdot t dx =-2tdt$

Así $\sec xdx = -2dt$ % tan Integral $\displaystyle I = -2\int \frac{\sec x }{t}dt$

Ahora utilizando $\displaystyle \left(\sec x- \tan x\right) = t$ y $\displaystyle \left(\sec x+\tan x \right) = \frac{1}{t}$

Utilizando $\left(\sec^2 x-\tan^2 x\right) = 1$

Así $\displaystyle 2\sec x = t+\frac{1}{t} = \frac{t^2+1}{t}$

Tan Integral $\displaystyle I = -\int\frac{t^2+1}{t^2}dt = -t+\frac{1}{t}+\mathbb{C}$

Así $\displaystyle I = \int \sqrt{\sec x+\tan x}\cdot \sec^2 xdx = -\left(\sec x-\tan x\right)+\frac{1}{\left(\sec x -\tan x\right)}+\mathbb{C}$

$\displaystyle = -\left(\sec x-\tan x\right)+\left(\sec x+\tan x\right)+\mathbb{C} = 2\tan x+\mathbb{C}$

Answer 2

Hmmm... Es posible ángulo doble identidades trabajará aquí.

$$\int\sqrt{\sec x+\tan x}\sec^2xdx=\int\sec^{5/2}x\sqrt{1+\sin x}dx=$$ $$\int\sec^{5/2}x\sqrt{\sin^2\frac x2+\cos^2\frac x2+2\sin\frac x2\cos\frac x2}dx=$$ $$\int(\cos^2\frac x2-\sin^2 \frac x2)^{5/2}(\sin\frac x2+\cos\frac x2)dx=$$ $$\int(\cos\frac x2-\sin\frac x2)^{5/2}(\cos\frac x2+\sin\frac x2)^{7/2}dx$$

No está seguro de dónde ir desde aquí. Tal vez alguien puede encontrar una manera de hacer este trabajo.

Answer 3

Si usamos sustitución de Weierstrass, la becomes $$I=\int \sqrt{(\sec{x} +\tan{x})}\ \cdot \sec^2x\,dx=2 \int \frac{ \sqrt{\frac{1+t}{1-t}} \left(1+t^2\right)}{\left(1-t^2\right)^2}\,dt$$ Now, setting $$\sqrt{\frac{1+t}{1-t}}=z$$ the integral becomes $$I=\int (z^2+\frac{1}{z^2})\,dz=\frac{z^3}{3}-\frac{1}{z}$$ Now, back to $x$, we get $$I=\frac{2}{3 problema} \Big(2 \sin (x)-1\Big) \sec (x) \sqrt{\frac{\sin \left(\frac{x}{2}\right) + \cos \left(\frac{x}{2}\right)} {\cos \left(\frac{x}{2}\right)-\sin \left(\frac{x}{2}\right)}}$$