¿Estos dos subconjuntos de un poste ya están nombrados?

Question

En un conjunto parcialmente ordenado $(X,≤)$ ,

• un conjunto superior de un conjunto parcialmente ordenado $(X,≤)$ es un subconjunto $U$ con la propiedad que, si $x \in U$ y $x≤y$ Entonces $y \in U$ .

• La noción dual es el conjunto inferior, que es un subconjunto $L$ con la propiedad que, si $x \in L$ y $y≤x$ Entonces $y \in L$ .

Me preguntaba si los siguientes dos conceptos relacionados ya han sido nombrados:

• un subconjunto $S$ con la propiedad que, si $x \in S$ entonces existe un $y \in S, y \neq x$ s.t. $x≤y$ .

• un subconjunto $S$ con la propiedad que, si $x \in S$ entonces existe un $y \in S, y \neq x$ s.t. $y≤x$ .

¡Gracias y saludos!

Answer 1

Un cadena ascendente infinita (de $(X, \le )$ ) es un subconjunto totalmente ordenado $\{x_1,x_2, \ldots\ }$ de tal manera que $x_1 < x_2 < \ldots $ Tal cadena satisface su primera condición, al igual que cualquier unión de tales cadenas. (Para encontrar el $y \ge x$ necesario, encontrar una cadena que contenga $x$ y tomar $y$ para ser su sucesor.) Por otra parte, que $S$ ser un subconjunto que satisfaga su primera condición. Para cada uno $x \in S$ que $C_{x} \subseteq X$ ser una cadena ascendente infinita que comienza en $x$ la existencia de al menos una cadena de este tipo por cada $x \in S$ está garantizada por su condición, y claramente $S= \bigcup_ {x \in S}C_x$ . El mismo razonamiento se aplica a su segundo concepto, con "ascendente" reemplazado por "descendente". Hemos mostrado la implicación en ambas direcciones:

Dado un subconjunto $S$ de un conjunto parcialmente ordenado $(X, \le )$ los siguientes son equivalentes:

1. $S$ es una unión de infinitas cadenas ascendentes (o descendentes).

2. Para cada uno $x \in S$ existe $y \in S$ de tal manera que $y>x$ (resp.., $y<x$ ).