Rigor en matemáticas

Question

Las matemáticas son muy rigurosas y todo debe ser probado correctamente incluso cosas que parecen verdaderos y evidentes.

¿Me puede dar ejemplos de conjeturas de los supervivientes que parecía verdadera, pero a través de la prueba de matemática rigurosa fue demostrado lo contrario?

Answer 1

Encontrar las raíces de un polinomio lineal es trivial. Ya los Babilonios podían encontrar raíces de polinomios cuadráticos. Los métodos para resolver polinomios cúbicos y vuelta polinomios de grado fueron descubiertas en el siglo xvi, utilizando en todos los radicales (es decir, $n$th raíces $n$). ¿No es obvio que la búsqueda de las raíces de polinomios de mayor grado es también posible mediante el uso de los radicales y de que no hemos encontrado las fórmulas sin embargo, es sólo porque se vuelven más y más complejos, con mayor polinomiales de grados?

La teoría de Galois destrozado esta creencia.

Answer 2

Berry Fase fue descubierto luego de una falta de rigor en la prueba del teorema Adiabático fue descubierto alrededor de 1980. Ahora aparece en el estándar de la Mecánica Cuántica, los textos y los ha producido, al menos de 3000 documentos desde 1980 (en realidad, ese número es de aproximadamente 10 años, no estoy seguro de cómo muchos por ahora).

Mientras esto aparece en la física, el error fue matemático. En particular, topológicos. Hay una integración más espacio de parámetros en la prueba que se supone que para ser trivial. Eso estaría bien si el espacio de parámetros es unidimensional, pero de mayores dimensiones espacios de parámetros puede ser una singularidad en el dominio que impida la fuga de la integral. Una vez que este error fue descubierto, los físicos obtenida la información de los corrigió el teorema de modificar la fase con facilidad. Sería emocionante ver otros desarrollos similares en otros entornos físicos donde adhoc matemáticas es utilizado. Sin embargo, parece que este es el abberation de la norma. Mucho como es el caso con las matemáticas. Creo que es justo decir que la mayoría de las veces el heursitic la prueba ha resultado ser correcta una vez que los detalles son desarrolladas. Esta es la razón por la que este hilo es muy interesante.

Answer 3

Lo primero que viene a la mente: no cada función lisa es igual a su serie de Taylor sobre la región de convergencia de la serie. Como un contraejemplo, tener en cuenta el $$de la función f (x) = \begin{cases} 0 & x = \end{cases \exp\left(-\frac1{x^2}\right) & x\neq0 0\\}$$ cuya serie de Taylor centrada en $x = 0$ es simplemente $0$, con un radio infinito de la convergencia.

Answer 4

Creo que el ejemplo más simple es la respuesta a la pregunta:

¿Hay más números racionales o naturales, o hay igualmente muchas de las personas?

Intuición, dice que "por supuesto hay mucho, mucho más racionales". Sin embargo, la demostración matemática rigurosa muestra que hay exactamente el mismo número de cada uno.

Answer 5

La que actualmente me molesta es que la exponenciación es Diophantine.

Esto significa que existe un polinomio entero (por lo tanto, no hay variables en los exponentes) $P(x,y,z,w_1,\dots,w_n)$ tal que:

$$\forall x,y,z\in\mathbb N\,\left(z=x^y \ffi \existe w_1,\dots,w_n\in\mathbb N\,\left(0=P(x,y,z,w_1,\dots,w_n)\right)\right)$$

He leído la prueba. Creo que la prueba es correcta. Yo todavía no instintivamente creer el resultado.

Uno de los resultados sorprendentes de esto es que el primer número de la orden de la teoría sólo se necesita contar con la multiplicación y la adición - usted todavía puede responder a las preguntas acerca de la exponenciación usando el polinomio.