Tomar un % múltiple diferenciable $M$. Definir $\eta(M)$ $\min\{\#\mathfrak{A} \mid \mathfrak{A} \text{ is an atlas for $% M $}\}$. Por ejemplo, si $M=S^n$, tenemos que $\eta(M)=2$, desde $S^n$ es compacta y $2$ cartas (las proyecciones estereográficas) son suficientes para cubrir el $M$.
¿$\eta(M)$ Atraen a una amplia gama de variedades? ¿Es de alguna manera manejable para computarlo? ¿Existe alguna técnica?
De hecho, hay un número de que se trate, con la mínima cantidad de subconjuntos abiertos para cubrir los $M$ que satisfacer contractability en $M$ --- la Lusternik Schnirelmann categoría $cat(M)$. Esto le da (al menos con mi definitiong de un gráfico)
$$ cat(M)\leq \eta(M). $$
Hay un montón de interesantes técnicas que se presentan en la literatura para este, que puede ser interesante para usted. Tenga en cuenta que, históricamente, esta categoría fue originalmente definido para subconjuntos cerrados, por lo que la literatura puede no ser consistente. Tenga en cuenta que $cat(M)$ también está relacionada con otros campos como el de la teoría de Morse.
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